Numerisk differentiering

Numerisk differentiering är en uppsättning metoder för ungefärlig beräkning av värdet av derivatan av någon funktion , givet i en tabell eller med ett komplext analytiskt uttryck.

Finita skillnader

Derivatan av en funktion vid en punkt definieras med gränsen : $f$ $x$

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

I täljaren av bråket under tecknet för gränsen är den ändliga skillnaden av funktionen , i nämnaren är steget av denna skillnad. Därför är den enklaste metoden för att approximera derivatan att använda de ändliga skillnaderna för en funktion med ett tillräckligt litet steg . Till exempel uttrycket $f$ $f$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

approximerar derivatan av en funktion vid en punkt upp till ett värde som är proportionellt mot . Att använda ett uttryck $f$ $x$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))

gör det möjligt att reducera approximationsfelet till ett värde som är proportionellt mot . $h^{2}$

Finita skillnader kan också approximera högre ordningens derivator.

Interpolation

Om värdena för funktionen vid vissa noder är kända , är det möjligt att konstruera ett interpolationspolynom (till exempel i Lagrange-formen eller i Newton-formen ) och ungefär ställa in $f$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N))$ $P_{N}(x)$

f^{(r)}(x)\approx P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.

Sådana uttryck kallas numeriska differentieringsformler.

Ibland, tillsammans med ungefärlig likhet, är det möjligt (till exempel genom att använda Taylor-formeln ) att erhålla en exakt likhet som innehåller en restterm , som kallas numerisk differentieringsfel: $R(x)$

f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.

Sådana uttryck kallas formler för numerisk differentiering med resttermer. Graden med vilken värdet kommer in i den återstående termen kallas felordningen för den numeriska differentieringsformeln. $h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}$

Följande är flera formler för numerisk differentiering med återstående termer för första och andra derivatan för ekvidistanta noder med ett konstant steg , erhållna med hjälp av Lagrange-formeln: $({r=1})$ $({r=2})$ ${h>0}$

$r=1,\;N=1$ (två noder):

f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).

$r=1,\;N=2$ (tre noder):

f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3} }f'''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''( \xi ),

f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}} f'''(\xi ).

$r=2,\;N=2$ (tre noder):

f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).

$r=2,\;N=3$ (fyra noder):

f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac { 11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11h^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).

Här , , och är någon mellanpunkt mellan den största och minsta av noderna. $f_{i}=f(x_{i})$ $i=0,\ldots ,N$ $\xi$

I det allmänna fallet kan koefficienterna för numeriska differentieringsformler beräknas för ett godtyckligt rutnät av noder och vilken ordning som helst av derivatan.

Fatalt fel

I formler för numerisk differentiering med ett konstant steg divideras funktionens värden med , där är ordningen för den beräknade derivatan. Därför, för små, outtagbara fel i funktionens värden har ett starkt inflytande på resultatet av numerisk differentiering. Således uppstår problemet med att välja det optimala steget , eftersom själva metodens fel tenderar att nollställas vid , och det dödliga felet växer. Som ett resultat kan det totala felet som uppstår under numerisk differentiering öka oändligt vid . Därför anses problemet med numerisk differentiering vara olämpligt . $h$ $f$ $h^{r}$ $r$ $h$ $f$ $h$ $h\till {0}$ $h\till {0}$

Komplexa tal

Klassiska approximationer med ändliga skillnader innehåller ett oundvikligt fel och är dåligt konditionerade . Men om en funktion är holomorf , tar verkliga värden på den verkliga linjen och kan utvärderas i vilken omgivning som helst av vilken verklig punkt som helst på det komplexa planet , så kan dess derivata beräknas med stabila metoder. Till exempel kan den första derivatan beräknas med formeln med ett komplext steg [1] : $f$

f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),

var är den imaginära enheten . Denna formel kan erhållas från följande Taylor-serieexpansion : $i$

f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!)}}-ih^{3}{ \ frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots .

I allmänhet kan derivator av godtycklig ordning beräknas med Cauchys integralformel :

f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i))\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(za)^{ n+1}}}\,\mathrm {d} z.

Integralen kan beräknas ungefär .

Litteratur

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Numeriska metoder. - 3:e uppl., tillägg. och omarbetat. — M. : BINOM. Kunskapslaboratoriet, 2004. - 636 s., ill. — ISBN 5-94774-175-X .
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Beräkningsmetoder. Volym I. - 2:a uppl., stereotypisk - M .: Fizmatgiz . 1962.
Mysovskikh I.P. Föreläsningar om beräkningsmetoder. – M.: Vetenskap. 1982. - 342 sid.

Anteckningar

↑ Komplex stegdifferentiering

Se även

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen