Exponentiell visning

Exponentiell kartläggning - långt[ förtydliga ] en löpande generalisering av exponentialfunktionen i Riemannsk geometri .

För ett Riemannmanifold verkar den exponentiella mappningen från tangentbunten till självmanifolden . $M$ $TM$ $M$

Den exponentiella mappningen betecknas vanligtvis och dess begränsning till tangentrymden vid en punkt betecknas och kallas exponentiell mappning vid en punkt . $\exp \colon TM\to M$ $T_{p}M$ $p\in M$ $\exp _{p}\colon T_{p}M\to M$ $sid$

Definition

Låt vara en Riemannisk grenrör och . För varje vektor finns det en unik geodetisk utgående från punkten (dvs ) så att . $M$ $p\in M$ $v\in T_{p}M$ $\gamma _{v}(t)$ $sid$ $\gamma _{v}(0)=p$ $\gamma _{v}'(0)=v$

Den exponentiella mappningen av en vektor är punkten eller . $v$ $\gamma _{v}(1)\in M$ $\exp v=\gamma _{v}(1)$

Egenskaper

$\exp _{p}(0)=p$ .

För varje punkt finns det ett tal så att den exponentiella mappningen definieras för alla vektorer som uppfyller villkoret . $p\in M$ $\varepsilon >0$ $\exp _{p}$ $v\in T_{p}M$ $|v|\leq \varepsilon$
- Dessutom är en diffeomorfism av något område av noll i tangentrymden till någon grannskap av en punkt i grenröret . Sålunda, i ett visst område av en mångfaldspunkt definieras en invers exponentiell mappning (kallad logaritmen och betecknas med ), som verkar i en viss grannskap av tangentrymdens noll . $\exp _{p}$ $T_{p}M$ $sid$ $M$ $sid$ $M$ $\log _{p}$ $T_{p}M$

I ett metriskt komplett Riemannmanifold definieras en exponentiell karta för vilken tangentvektor som helst ( Hopf–Rinows sats ).

Differentialen för den exponentiella mappningen vid vilken punkt som helst är den linjära identitetsoperatorn . Det är $sid$ $(d_{p}\exp _{p})(v)=v$

för någon . Här identifierar vi utrymmet som tangerar med sig självt.

v\in T_{p}M

T_{p}M

( Gauss lemma om geodetik ) För alla $x,v\in T_{p}$ $g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$

där anger differentialen för den exponentiella mappningen.

d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}

För Lie-grupper med en bi-invariant måttenhet sammanfaller den exponentiella mappningen med den vanliga gruppteoretiska exponentialen.

Länkar

A.V. Chernavsky . Föreläsningar om klassisk differentialgeometri (KAPITEL 10)

Litteratur

B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko modern geometri. - Vilken upplaga som helst.
A. S. Mishchenko, A. T. Fomenko . Kurs i differentialgeometri och topologi. - Vilken upplaga som helst.
M. M. Postnikov . Variationsteori för geodetik. - Vilken upplaga som helst.