Tröghetsellipsoid

Tröghetsellipsoid (för punkt O) är en geometrisk figur i form av en andra ordningens yta som kännetecknar tröghetstensorn hos en stel kropp i förhållande till punkt O.

Tröghetstensorn och tröghetsellipsoiden

Huvudartikel: Tröghetstensor

Tröghetsmomentet för en kropp ges av den allmänna formeln:

I=\int {\mathbf r}_{{\bot }}^{2}\,dm

Tröghetstensorn för en stel kropp representeras som en symmetrisk matris

{\begin{pmatrix}I_{{xx}}&I_{{xy}}&I_{{xz}}\\I_{{yx}}&I_{{yy}}&I_{{yz}}\\I_{{zx }}&I_{{zy}}&I_{{zz}}\end{pmatrix}}

där elementen är tröghetsmomenten kring olika axlar:

$I_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{åå}}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{{xy}}=I_{{yx}}=-\int xy\,dm$
$I_{{xz}}=I_{{zx}}=-\int xz\,dm$
$I_{{yz}}=I_{{zy}}=-\int yz\,dm$

Tröghetstensormatrisen kan representeras i en diagonal form , och då kommer de diagonala elementen , , att vara kroppens huvudsakliga tröghetsmoment. Ekvationen för tröghetsellipsoiden skrivs då som: ${\displaystyle I_{x))$ ${\displaystyle I_{y))$ ${\displaystyle I_{z))$

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

I detta fall måste ellipsoidens koordinataxlar sammanfalla med kroppens huvudaxlar.

Genom att känna till tröghetsellipsoiden kan du hitta kroppens tröghetsmoment runt vilken axel som helst, så länge den passerar genom ellipsoidens mitt. För att göra detta ritas en radievektor längs den valda axeln tills den skär tröghetsellipsoiden. Kroppens tröghetsmoment kring denna axel ges av formeln:

$I={\frac {1}{r^{2}}}$ , där är längden på radievektorn. $r$

Om ögonblicket för yttre krafter i förhållande till en fast punkt är lika med noll, säger de att Euler-fallet med rörelsen av en stel kropp realiseras. För ett sådant fall lyckades Poinsot få en tydlig geometrisk tolkning: tröghetsellipsoiden för en fast punkt rullar utan att glida längs ett plan fixerat i rymden; detta plan är ortogonalt mot kroppens vinkelmomentvektor ; kroppens vinkelhastighet är proportionell mot längden av radievektorn för kontaktpunkten och sammanfaller med den i riktning.

Exempel på tröghetsellipsoider

Rektangulär parallellepiped

Låt parallellepipeden ha dimensioner . De viktigaste tröghetsmomenten: $a,b,c$

I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{ 2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})

En ungefärlig vy av tröghetsellipsoiden visas i illustrationen.

För att beräkna tröghetsellipsoiden för en oändligt lång tunn stav anses en av dimensionerna vara mycket större än de andra, och ellipsoiden urartar till en cylindrisk yta .

Litteratur

Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - 4:e uppl. — M. : FIZMATLIT; MIPT Publishing House, 2005. - Vol. 1. Mechanics. - S. 311. - 560 sid. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Laboratorieverkstad om allmän fysik / A.D. Gladun. - M. : MIPT, 2004. - T. 1. Mekanik. - S. 133. - 316 sid. — ISBN 5-7417-0202-3 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Teoretisk fysik. - 5:e uppl. - M. : FIZMATLIT, 2007. - T. 1. Mekanik. - S. 131. - 224 sid. - ISBN 978-5-9221-0819-5 .