Elliptisk funktion

En elliptisk funktion är, i komplex analys , en funktion som är periodisk i två riktningar och definieras på det komplexa planet. Elliptiska funktioner kan betraktas som analoger till trigonometriska funktioner (med endast en punkt). Historiskt upptäcktes elliptiska funktioner som de omvända funktionerna av elliptiska integraler .

Definition

En elliptisk funktion är en meromorf funktion definierad på en domän för vilken det finns två komplexa tal som inte är noll och så att $f$ $\mathbb {C}$ $a$ $b$

f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in C,

och även kvoten är inte ett reellt tal. ${\frac {a}{b}}$

Det följer av detta att för alla heltal och $m$ $n$

f(z+ma+nb)=f(z),\quad \forall z\in C

Alla komplexa tal så att $\omega$

f(z+\omega )=f(z),\quad \forall z\in C,

kallas funktionens period . Om perioderna och är sådana att någon kan skrivas som $f$ $a$ $b$ $\omega$

\omega =ma+nb,

de kallas fundamentala perioder . Varje elliptisk funktion har ett par fundamentala perioder. $a$ $b$

Ett parallellogram med hörn vid , , , kallas ett fundamentalt parallellogram . $\Pi$ $0$ $a$ $b$ $a+b$

Egenskaper

Det finns inga icke-konstanta hela elliptiska funktioner ( Liouvilles första teorem ).
Om en elliptisk funktion inte har några poler på gränsen till ett parallellogram , då är summan av resterna vid alla poler som ligger inuti lika med noll (Liouvilles andra sats). $F Z)$ $\alpha +\pi$ $F Z)$ $\alpha +\pi$
Vilken elliptisk funktion som helst med punkter och kan representeras som $a$ $b$ $f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}+g{\big (}\wp (z){\big )}\wp '(z),$

där h , g är rationella funktioner, är en Weierstrass-funktion med samma perioder som y . Om dessutom är en jämn funktion , då kan den representeras som , där h är rationell.

\wp (z)

F Z)

F Z)

{\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )))

Elliptiska funktioner är icke-elementära, detta bevisades av Jacobi på 1830-talet.

Se även

Litteratur

Elliptiska funktioner // E. Knapp Elliptiska kurvor. — M.: Factorial Press, 2004.
Kapitel 11 // Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel. - M .: Statlig upplaga av fysisk och matematisk litteratur, 1960.