Hermitisk form

Den hermitiska formen är en naturlig analog till konceptet med en symmetrisk bilinjär form för komplexa vektorrum. För hermitiska former är analoger av många egenskaper hos symmetriska former sanna: reduktion till kanonisk form, begreppet positiv bestämdhet och Sylvesters kriterium [1] .

Definition

En hermitisk form är en sesquilinjär form i två vektorer av ett vektorrum över ett fält med värden i detta fält, som har symmetriegenskapen [1] : $f(x,y)$ $V$ $\mathbb {C}$

f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.

Således är den kompletta uppsättningen villkor som definierar den hermitiska formen som följer:

$f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\ \ \forall x_{i},y\in V ,$
$f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$
$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} ,$
$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$

Egenskaper

Av tillståndet för hermitisk symmetri följer omedelbart det faktum att kvantiteten är verklig . I det här fallet sägs en (reellt värderad) funktion på ett komplext vektorrum V vara kvadratisk-hermitisk . Det finns också ett omvänt faktum, som kan formuleras som ett kriterium för att en sesquilinjär form ska vara hermitisk: $f(x,x)$ $\phi (x)=f(x,x)$

Sats [1] . En sesquilinjär form är hermitisk om och endast om den associerade funktionen endast tar verkliga värden. $f(x,y)$ $\phi(x)$

Om tilläggsvillkoret är uppfyllt

f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0

den hermitiska formen f(x,y) och den kvadratiska-hermitiska funktionen kallas positiv definit . $\phi(x)$

Litteratur

Gelfand I. M. föreläsningar om linjär algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Anteckningar

↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.