Dirichlet kärna

Dirichlet-kärnan är en -periodisk funktion som ges av följande formel [1] [2] : $2\pi$

D_{n}(x)=\summa _{{k=-n}}^{n}{\frac {e^{{ikx}}}{2}}={\frac {1}{2}} +\summa _{{k=1}}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right )}{2\sin(x/2)}}.

Funktionen är uppkallad efter den fransk-tyska matematikern Dirichlet . Denna funktion är en kärna , faltning med vilken ger en delsumma av den trigonometriska Fourier-serien . Detta tillåter oss att analytiskt utvärdera förhållandet mellan den ursprungliga funktionen och dess approximationer i rymden . $L_2[-\pi,\pi]$

Förhållande till Fourier-serien

Låt vara integrerbar på och -periodisk, då $f(x)$ $[-\pi ,\pi ]$ $2\pi$ $\forall x\in {\mathbb {R}}~\forall n\in {\mathbb {N}}$

$S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\ sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _ {-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du$

Denna formel är en av de viktigaste i teorin om Fourierserier.

Bevis

Betrakta den n:te delsumman av Fourierserien.

$S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\summa \limits _{{k=1}}^{{n}}(a_{k}\cos( kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)dt+\summa _{{k =1))^{n}\left[\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\cos(kt )dt\right)\cos(kx)+\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\sin(kt )dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{ 2}}+\summa _{{k=1}}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\ qquad(3)$

Genom att tillämpa differenskosinusformeln på uttrycket under summatecknet får vi:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\left[{\frac 1{ 2}}+\summa _{{k=1}}^{n}\left(\cos(k(tx)\right)\right]dt\qquad (4)$

Tänk på summan av cosinus: ${\frac 1{2))+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )$

Vi multiplicerar varje term med och transformerar enligt formeln $2\sin({\frac \alpha {2)))$ $2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )$

$2\sin({\frac \alpha {2}})\left({\frac 1{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha ) \right)=\sin {\frac \alpha {2}}-\sin {\frac \alpha {2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3 \alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha$

Genom att tillämpa denna transformation på formel (4) får vi:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t){\frac {\sin(n+ {\frac {1}{2)))(tx)}{2\sin {\frac {tx}{2))))dt\qquad (5)$

Vi gör en förändring av variabel $u=tx$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi -x}}^{{\pi -x}}f(x+u){\ frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac { u}{2}}}}du\qquad (6)$

Egenskaper för Dirichlet-kärnan

$D_{n}(x)$ är en periodisk och jämn funktion . $2\pi$
$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }$

Anteckningar

↑ Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I.M. - M .: Soviet Encyclopedia. - T. 2. - S. 194.
↑ Dirichletkernel . (obestämd)

Se även

Konjugat Dirichlet Kernel
Fejérs kärna
Jackson kärna