Jackson kärna

I approximationsteorin är Jackson -kärnan en periodisk funktion som ges av formeln: $2\pi$

$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}} }}\right)^{4}$

Uppkallad efter en vetenskapsman som arbetade med teorin om approximationer och trigonometriska polynom - Dunham Jackson .

Denna funktion är en kärna , faltning med vilken ger en delsumma av Fourier-serien .

Jackson kernel konstant

Konstanten bestäms av relationen och är lika med $\gamma_n$ $\int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$ $\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Bevis

Vi använder Parsevals likhet för fallet med rymd L 2 :

Om , är följande identitet sann: ${\displaystyle f\in \mathbb {L} _{2))$ $\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\summa \limits _{n= 0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)$

Det är nödvändigt att ersätta denna jämlikhet $f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

Först måste du skriva ett uttryck för att använda Fejér -kärnan och Dirichlet-kärnan : $\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\ sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\summa \limits _{k=0}^{n-1}{D_{ k}(t)}=$
$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1 }{2}}+\summa \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}$

Det följer att

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=2\pi n {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2} }+\summa \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\summa \limits _{k=0}^{n-1}{\summa \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt))))$

Genom att byta ut de två summorna och tillämpa lämplig transformation för indexen får vi:

$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=n+2\ summa \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{nj}{\cos {jt}}=n+\summa \limits _{j=1}^{ n-1}{(nj)\cos{jt}}$

Vidare är det uppenbart att koefficienterna för det resulterande trigonometriska polynomet kommer att vara Fourierkoefficienterna för dess summa, dvs. $a_{0}=2n,a_{k}=kj(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$

Det återstår bara att ersätta dessa koefficienter i motsvarande uttryck för integralen:

$\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right) ^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\summa \limits _{j=1}^{n-1}{\left(nj\right)^{2}}\right) =\pi \left(2n^{2}+4\summa _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4 \left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\right)\right)=$
$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n( 2n^{2}+1)}{3}}$
Så, genom att ersätta Jackson-kärnan i den grundläggande identiteten, kan vi få ett uttryck för konstanten: Således är påståendet om konstanten bevisat.
$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2))}{\sin { \frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Se även

Litteratur

AV Efimov. Jackson Singular Integral (inte tillgänglig länk) (2001). Hämtad 11 oktober 2010. Arkiverad från originalet 2 oktober 2010. (obestämd)
A. Shadrin. Approximation Theory – Föreläsning 9 (University of Cambridge - Institutionen för tillämpad matematik och teoretisk fysik) (otillgänglig länk) (2005). Hämtad 11 oktober 2010. Arkiverad från originalet 5 juni 2011. (obestämd)
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometriska Fourierserier och element i approximationsteori. - L . : Förlaget Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Bari N.K. Trigonometrisk serie . - Moskva: State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1961. - S. 936 .
D.Jackson. Teorin om approximation. — Amer. Matematik. Soc., 1930.