Jackson-Stechkin ojämlikhet

Jackson-Stechkin-olikheten kopplar samman värdet av den bästa approximationen av en funktion av någon klass av funktioner med egenskaperna för denna funktion, vanligtvis med värdet av kontinuitetsmodulen för denna funktion vid en viss punkt. Exempel:

E_{n}(f)_{L^{2}}<K\omega _{f}(\delta ).

I exemplet uppskattas värdet av den bästa approximationen av en funktion genom polynom av grad i rymden ovanifrån genom värdet av funktionens kontinuitetsmodul vid punkten . Storheten kallas Jackson-konstanten . Frågan om det minsta värdet av denna kvantitet (om den "exakta Jackson-konstanten") är som regel mycket svår. I fall där den är lösbar kallas den minsta konstanten för vilken olikheten förblir giltig Chernyh-punkten , vilket också är icke-trivialt att hitta. $f$ $n$ $L^{2}$ $f$ $\delta$ $K$ $\delta$

Historik

För första gången erhölls en olikhet av denna typ av D. Jackson ( engelska Dunham Jackson ) 1911 för fallet med approximation av periodiska funktioner med trigonometriska polynom . Det visade han

E_{n}(f)\leqslant c\omega \left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

och

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{r}}{n^{r}}}\omega \left(f^{(r)},\;{\frac {1} {n}}\höger).

Här är värdet av den bästa approximationen av funktionen i den enhetliga metriska med trigonometriska polynom av grad . I den första ojämlikheten antas funktionen vara kontinuerlig och i andra gången differentierbar. $E_{n}(f)$ $f$ $n-1$ $f$ $r$

År 1945 fick Sigmund liknande ojämlikheter genom att använda andra ordningens kontinuitetsmodul, 1947 kunde akademikern S. N. Bernshtein använda ordningens kontinuitetsmodul . 1949 generaliserade S. B. Stechkin alla tidigare resultat och fastställde (med en annan metod än Jackson) att $k$

E_{n}(f)\leqslant c_{k}\omega _{k}\left(f,\;{\frac {1}{n))\right)

och

E_{n}(f)\leqslant {\frac {c_{k+r}}{n^{r}}}\omega _{k}\left(f^{(r)},\; {\frac {1}{n}}\right).

Här beror konstanterna inte på , eller . Som ett resultat började ojämlikheten i den inhemska litteraturen att kallas Jackson-Stechkin- ojämlikheten, och liknande ojämlikheter började kallas Jackson-Stechkin-typ ojämlikheter . $c_{k}$ $f$ $n$ $r$

1961 påpekade N.P. Korneichuk den exakta Jackson-konstanten i den första ojämlikheten:

E_{n}(f)<1\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi}{n))\right).

1967 fick Stechkin Jacksons ojämlikhet i utrymmen för alla : $L_{p}$ $p\in [1,\;\infty )$

E_{n}(f)_{p}<{\frac {3}{2}}\cdot \omega \left(f,\;{\frac {\pi }{n}}\right) _{p}.

Senare var ett stort antal matematiker i olika länder engagerade i detta ämne (och är fortfarande engagerade i det), liknande ojämlikheter erhölls för olika utrymmen , ungefärliga klasser och kontinuitetsmoduler .