Teori om automatisk styrning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 oktober 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Teorin om automatisk kontroll ( TAU ) är en vetenskaplig disciplin som studerar processerna för automatisk kontroll av föremål av olika fysisk natur. Samtidigt, med hjälp av matematiska medel, avslöjas egenskaperna hos automatiska styrsystem och rekommendationer för deras design utvecklas.

Det är en integrerad del av teknisk kybernetik och är avsedd att utveckla allmänna principer för automatisk styrning, såväl som metoder för analys (forskning av funktion) och syntes (val av parametrar) av automatiska styrsystem (ACS) för tekniska objekt.

För denna teori är det bara karaktären [1] av signaltransformationer av kontrollobjekt som har betydelse.

Historik

För första gången dök information om automater upp i början av vår era i verk av Heron of Alexandria " Pneumatics " och " Mechanics ", som beskriver automater skapade av Heron själv och hans lärare Ctesibius : en pneumatisk automat för att öppna dörrarna till ett tempel, en vattenorgel, en automat för att sälja heligt vatten, etc. Herons idéer var långt före sin tid och fick ingen tillämpning under hans tid.

Under medeltiden fick imitation av "android"-mekanik betydande utveckling, när mekaniska designers skapade ett antal automater som imiterade individuella mänskliga handlingar, och för att förstärka intrycket gav uppfinnarna automaten en extern likhet med en person och kallade dem " androider ", det vill säga humanoid. För närvarande kallas sådana enheter robotar , i motsats till de automatiska kontrollenheterna som används allmänt inom alla områden av mänsklig aktivitet, som kallas automater.

På 1200-talet byggde den tyske skolastiska filosofen och alkemisten Albert von Bolstadt en robot för att öppna och stänga dörrar.

Mycket intressanta androider skapades under XVII-XVIII-talen. På 1700-talet skapade de schweiziska urmakarna Pierre Droz och hans son Henri en maskinskrivare, en mekanisk konstnär m fl. En vacker automatteater skapades på 1700-talet. Rysk självlärd mekaniker Kulibin . Hans teater, som förvaras i Eremitaget , är inrymd i en "äggfigurklocka".

I sin linda finns många bestämmelser i teorin om automatisk kontroll i General Theory of (Linear) Regulators, som utvecklades huvudsakligen 1868-1876 i verk av Maxwell och Vyshnegradsky . De grundläggande verken av Vyshnegradsky är: "Om den allmänna teorin om regulatorer", "Om regulatorer för indirekt handling". I dessa verk kan man hitta ursprunget till moderna ingenjörsmetoder för att studera regleringens stabilitet och kvalitet.

Verken av den enastående sovjetiske matematikern Andrei Markov (junior) , grundaren av den sovjetiska konstruktivistiska skolan för matematik, författare till verk om teorin om algoritmer och matematisk logik , spelade ett avgörande inflytande på utvecklingen av den inhemska metoden för att studera teori om automatisk styrning . Dessa studier har funnit tillämpning i akademiker Lebedevs vetenskapliga och praktiska verksamhet i militära ämnen - automatisk kontroll av torpeder och styrning av vapen och stabiliteten hos stora energisystem .

I början av 1900-talet och under dess första decennium formas teorin om automatisk kontroll som en allmän vetenskaplig disciplin med ett antal tillämpade avsnitt.

Grundläggande begrepp

Automation är en gren av vetenskap och teknik som täcker teori och praktik för automatisk styrning, såväl som principerna för att bygga automatiska system och de tekniska medel som utgör dem.

Ett kontrollobjekt (OC) är en anordning, en fysisk process eller en uppsättning processer som måste kontrolleras för att uppnå önskat resultat. Interaktion med operativsystemet sker genom att tillämpa en kontrollåtgärd på dess villkorliga indata (som korrigerar de processer som sker i operativsystemet), medan utdata är en ändrad parameter (vilket är en processkonsekvens).

Styrning är en påverkan (signal) som appliceras på ingången till styrobjektet och som säkerställer ett sådant flöde av processer i styrobjektet som säkerställer att det specificerade styrmålet uppnås vid dess utgång.

Målet är det önskade flödet av processer i styrobjektet och att erhålla den önskade förändringen av parametern vid dess utgång.

Objekt:

lyckades
ohanterat

Det automatiska styrsystemet (ACS) inkluderar ett styrobjekt och en styranordning.

Styrenhet (CU) är en uppsättning enheter som styr ingångarna till kontrollobjektet.

Reglering är ett specialfall av styrning, vars syfte är att hålla en eller flera utgångar från styrobjektet på en given nivå.

Regulator - omvandlar styrfelet ε(t) till en styråtgärd som anländer till styrobjektet.

Inställningsåtgärden g(t) bestämmer den erforderliga regleringen av utgångsvärdet.

Reglerfel ε(t) = g(t) - y(t), skillnaden mellan det erforderliga värdet för den styrda variabeln och dess aktuella värde. Om ε(t) inte är noll, matas denna signal till styrenhetens ingång, vilket genererar en sådan styråtgärd att till slut ε(t) = 0 över tiden.

Störande åtgärd f(t) är en process vid ingången av kontrollobjektet, vilket är ett hinder för kontroll.

Automatiska styrsystem:

Öppna:

programkontrollsystem. CU utfärdar en kontrollåtgärd utan att ta emot information om systemets tillstånd på basis av några tecken, ett tidsprogram (enkelhet och ökad tillförlitlighet, låg kontrollkvalitet);
SU på indignation. CU genererar en kontrollåtgärd baserad på information om storleken på den störande effekten på systemet.

Stängd: CU genererar en kontrollåtgärd baserat på den uppmätta informationen om objektets tillstånd för den valda parametern.
Kombinerat system: CU genererar en kontrollåtgärd baserad på information om objektets parametrar och på basis av informationen om den störande åtgärden.

Funktionsdiagram

Funktionsdiagram av ett element - ett diagram över ett automatiskt regler- och kontrollsystem, sammanställt enligt den funktion som detta element utför.

Utsignaler är parametrar som kännetecknar styrobjektets tillstånd och är väsentliga för styrningsprocessen.

Systemutgångar är punkter i systemet där utsignaler kan observeras i form av vissa fysiska storheter.

Systemingångar är punkter i systemet där yttre påverkan appliceras.

Ingångssignaler:

interferens - signaler som inte är förknippade med informationskällor om ledningens uppgifter och resultat.
användbar - signaler förknippade med informationskällor om ledningens uppgifter och resultat.

System:

endimensionell - system med en ingång och en utgång.
flerdimensionell - system med flera ingångar och utgångar.

ACS-kontrollprinciper

Återkoppling är en anslutning i vilken det verkliga värdet på utgångsvariabeln, såväl som det inställda värdet för den styrda variabeln, matas till regulatoringången .

hårt - ett sådant OS, där styrenhetens ingång får en signal som är proportionell mot objektets utsignal när som helst.
flexibelt - ett sådant OS, där styrenhetens ingång inte bara tar emot en signal som är proportionell mot objektets utgångssignal, utan också en signal som är proportionell mot derivatan av utgångsvariabeln.

Styrning enligt principen om avvikelse för den styrda variabeln - återkopplingen bildar en sluten slinga. Det styrda objektet utsätts för en åtgärd som är proportionell mot summan (skillnaden) mellan utgångsvariabeln och det inställda värdet, så att denna summa (skillnaden) minskar.

Styrning enligt principen om kompensation av störningar - en signal som är proportionell mot den störande effekten kommer in i regulatorns ingång. Det finns inget samband mellan kontrollåtgärden och resultatet av denna åtgärd på objektet.

Styrning baserad på principen om kombinerad reglering - både störnings- och avvikelsekontroll används, vilket säkerställer högsta reglernoggrannhet.

Principen för avvikelse för den styrda variabeln i TAU
Störningsersättningsprincipen i TAU
Principen om kombinerad reglering i TAU

Klassificering av ACS

Genom kontrollens natur:

kontrollsystem
kontrollsystem

Av åtgärdens natur:

kontinuerliga system
diskreta åtgärdssystem
reläfunktionssystem

Beroende på graden av användning av information om kontrollobjektets tillstånd:

OS-kontroll
kontroll utan OS

Beroende på graden av användning av information om parametrarna och strukturen för kontrollobjektet:

adaptiv
missanpassningsbar
Sök
söklös
med legitimation
med variabel struktur

Enligt graden av koordinattransformation i ACS:

deterministisk
stokastisk (med slumpmässiga influenser)

Genom formen av den matematiska modellen för koordinattransformation:

linjär
icke-linjär (relä, logisk, etc.)

Efter typ av kontrollåtgärder:

analog
diskret (intermittent, puls, digital)

Beroende på graden av mänskligt deltagande:

manuell
automatisk
automatiserad (man i kontroll)

Enligt lagen om förändring av utdatavariabeln:

stabiliserande : det föreskrivna värdet för utgångsvariabeln är oförändrat.
program : utdatavariabeln ändras enligt ett visst, förutbestämt program.
spårning : det föreskrivna värdet för utgångsvariabeln beror på värdet på variabeln som är okänt i förväg vid ingången till det automatiska systemet.

Med antalet kontrollerade och reglerade variabler:

endimensionell : om objektet endast har ett manipulerat värde;
flerdimensionell: om objektet har ett relativt stort antal kontrollerade variabler och motsvarande antal kontrollåtgärder.

Beroende på graden av självinställning, anpassning, optimering och intelligens:

extrem
självinställning
intellektuell

Beroende på effekten av det känsliga (mätande) elementet på tillsynsorganet:

direkta styrsystem
indirekta styrsystem

Intelligenta självgående vapen

ISAS är system som tillåter träning, anpassning eller inställning genom att memorera och analysera information om ett objekts beteende, dess kontrollsystem och yttre påverkan. En egenskap hos dessa system är närvaron av en databas med en inferensmotor, ett förklaringsundersystem, etc.

Kunskapsbas - formaliserade regler i form av logiska formler, tabeller etc. IMS används för att hantera dåligt formaliserade eller komplexa tekniska objekt.

ISU-klassen motsvarar funktionerna:

Tillgänglighet för CS-interaktioner med den verkliga omvärlden med hjälp av informationskommunikationskanaler.
Systemets öppenhet behövs för att fylla på och skaffa kunskap.
Tillgänglighet av mekanismer för att förutsäga förändringar i omgivningen för systemets funktion.
Den felaktiga informationen om CO kan kompenseras genom att öka intellektualiseringen av kontrollalgoritmen.
Bevarande av funktion vid kommunikationsbrott.

Om ISU uppfyller alla 5 kriterierna så är den intelligent i den "stora", annars i den "små" bemärkelsen.

Matematiska modeller av linjär ACS

Deterministisk

$W_{0}(p)={\frac {A(p)}{B(p)))$

$W_{0}(p)={\frac {K_{0}}{T_{0}p}}e^{-p\tau }$

Statistisk

Statistisk kännetecknas av en uppsättning statistiska parametrar och fördelningsfunktioner. För deras studier används metoder för matematisk statistik .

Adaptiv

Adaptiva använder deterministisk-stokastiska metoder för att beskriva kontrollobjektet.

Typer av influenser. Övergång, vikt, överföringsfunktioner

Identitetsstegsfunktionen är en speciell matematisk funktion vars värde är noll för negativa argument och ett för positiva argument. Det är den naturliga enklaste påverkan på kontrollobjektet. I matematik uttrycks det av Heaviside-identitetsfunktionen .
Enhetsimpulsfunktionen är derivatan av enhetsstegfunktionen. Den kännetecknar en impuls med oändligt stor amplitud, som flödar över en oändligt liten tidsperiod. Den geometriska betydelsen är att området som begränsas av denna funktion är lika med 1. Det används i ett antal fall när processen att bestämma de dynamiska egenskaperna på det enklaste sättet på grund av överskottet av utmatningsvärdet vid ett givet värde är omöjligt . [2]
Övergångsfunktionen är systemets svar på en enstegssignal.
Viktfunktionen är systemets svar på en enda impuls.
Överföringsfunktionen är förhållandet mellan Laplace-transformen av utsignalen och Laplace-transformen av insignalen under noll initiala förhållanden och noll externa störningar.

Överföringsfunktion för anslutning av länkar

Seriell anslutning

W e (p) \u003d W 1 (p) W 2 (p) ... W n (p) \u003d (p) $\prod _{i=1}^{n}W_{i}$

Parallell anslutning

W e (p) \u003d W 1 (p) + W 2 (p) + ... + W n (p) \u003d (p) $\sum _{i=1}^{n}W_{i}$

Överföringsfunktion för ett slutet system

W OC (p) är en ekvation som beskriver återkopplingskretsen
W(p) är en ekvation som beskriver länken
G(p) är en ekvation som beskriver ingångsåtgärden
U OC (p) är en ekvation som beskriver utsignalen från återkopplingslänken
ΔU(p) är en ekvation som beskriver summan (skillnaden) G(p) och U OC (p)
Y(p) är en ekvation som beskriver utsignalen från systemet

$f(n)=\left\{{\begin{matrix}Y(p)=W(p)\Delta U(p)\\U_{OC}(p)=W_{OC}(p)Y(p) )\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p)\end{matris}}\höger.$

När vi löser detta ekvationssystem får vi följande resultat:

$Y(p)=W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))$

$Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p)=W(p)G(p)$

$Y(p)={{W(p)G(p)} \över {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}$

$W_{\ni }(p)={Y(p) \över G(p)}={W(p) \över 1\pm W(p)W_{OC}(p)}$

Att erhålla tillstånd-rymdöverföringsfunktionen

Systemet i tillståndsutrymmet ges som:

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}(t)=A\cdot x(t)+B\cdot u(t)\\y(t)=C\cdot x(t) +D\cdot u(t)\end{matris}}\höger.$

Systemet har m ingångar u(t), l utgångar y(t), n tillstånd x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D är numeriska matriser med motsvarande dimension nxn, nxm, lxn..

Låt mig vara en nxn-identitetsmatris, då:

pI X(p) - AX(p) = BU(p)

(pI - A)X(p) = BU(p)

x(0) = 0

X(p)=Wxu(p)U(p); Wxu(p) = (pl - A)^{-1)B

Y(p)=Wyu(p)U(p); Wyu(p)=C (pl - A)^{-1) B + D

Linjärisering av system och länkar

Låt ACS styras och beskrivas med en olinjär ekvation

$F(x,{\dot {x}},y,{\dot {y}},{\ddot {y}},...,f,{\dot {f}},{\ddot {f} })=0$

Dessutom är olinjäriteten obetydlig, det vill säga denna funktion kan utökas i en Taylor-serie i närheten av en stationär punkt, till exempel med en extern störning f = 0 .

Ekvationen för denna länk i steady state är följande:

$F(x^{0},0,y^{0},0,0)=0,x_{k}^{0},y_{k}^{0}$ , initiala punkter, derivator saknas.

När vi sedan utökar den olinjära funktionen i en Taylor-serie får vi:

$F(x^{0},y^{0})+\left({\frac {\partial F}{\partial x))\right)^{0}\Delta x+\left({\frac {\ partiell F}{\partial {\dot {x}}}}\right)^{0}\Delta {\dot {x}}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\ höger)^{0}\Delta y+\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {y))))\right)^{0}\Delta {\dot {y))+\ vänster({\frac {\partial F}{\partial {\ddot {y))))\right)^{0}\Delta {\ddot {y}}+R_{n}=0,R_{n} ,$ - resten

$F(x,y)^{0}+\left(-b_{1}\right)\Delta x+\left(-b_{0}\right)\Delta {\dot {x}}+\left(a_ {2}\right)\Delta y+\left(a_{1}\right)\Delta {\dot {y}}+\left(a_{0}\right)\Delta {\ddot {y}}+R_ {n}=0$

$\left\{{\begin{matrix}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{matrix}}\right.\Rightarrow R_{n}\rightarrow 0$

$a_{0}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{2}y=b_{0}{ \frac {dx}{dt}}+b_{1}x$

Vi bytte från icke-linjär till linjär. Låt oss gå vidare till operatorekvationen:

$(a_{0}p^{2}+a_{1}p+a_{2})y=(b_{0}p+b_{1})x$

$F()\högerpil F(\Delta x,\Delta y)\högerpil LE\högerpil OE$

Styrbarhet, observerbarhet av självgående vapen

ACS är kontrollerbar (fullständigt kontrollerbar) om den kan överföras från vilket initialt tillstånd x 0 (t) som helst till ett annat godtyckligt tillstånd x 1 (t) vid ett godtyckligt ögonblick genom att applicera en bitvis kontinuerlig åtgärd U(t)∈[t 0 ;t 1 ].

ACS är observerbar (helt observerbar) om alla tillståndsvariabler x(t) kan bestämmas från den utgående (uppmätta) påverkan y(t).

Stabilitet för linjära system

Stabilitet är egenskapen hos ACS att återgå till ett givet eller nära stabilt tillstånd efter någon störning. Stabil ACS är ett system där transienta processer dämpas.

$(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=(b_{0}p^{m}+b_{1 }p^{{m-1}}+...+b_{m})g$ är operatorformen för den linjäriserade ekvationen.

y(t) \u003d y set (t) + y p \ u003d y out (t) + y st

y mun (y ut ) är en speciell lösning av den linjäriserade ekvationen.

y p (y st ) är den allmänna lösningen av den linjäriserade ekvationen som en homogen differentialekvation, dvs. $D(p)=(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=0$

ACS är stabil om de transienta processerna y n (t) orsakade av eventuella störningar kommer att dämpas över tiden, det vill säga när $y_{n}(t)\högerpil 0$ $t\högerpil {\mathcal {1}}$

Genom att lösa differentialekvationen i det allmänna fallet får vi komplexa rötter p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Varje par av komplexa konjugerade rötter motsvarar följande komponent i den transienta ekvationen:

$c_{i}e^{{(\alpha _{i}+j\beta _{i})t}}+c_{{i+1}}e^{{(\alpha _{i}-j\ beta _{i})t}}=\alpha _{i}(c_{i}e^{{j\beta _{i}t}}+c_{{i+1}}e^{{-j \beta _{i}t)))=Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}$ , var , $A={\sqrt {c_{i}^{2}+c_{{i+1}}^{2}}}$ $\operatörsnamn {tg}{\varphi _{i}}={c_{i}+c_{{i+1}} \över c_{i}-c_{{i+1}}}$

Av de erhållna resultaten kan man se att:

för ∀α i <0 är stabilitetsvillkoret uppfyllt, d.v.s. den transienta processen tenderar till y mun över tiden (Lyapunovs sats 1);
när ∃α i >0 är instabilitetsvillkoret uppfyllt (Lyapunovs sats 2), det vill säga , vilket leder till divergerande svängningar; $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}\högerpil {\mathcal {1}}$
för ∃α i =0 och ¬∃α i >0 , vilket leder till odämpade sinusformade oscillationer av systemet (ett system på stabilitetsgränsen) (Lyapunovs sats 3). $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}=const$

Kriterier för stabilitet

Routh-kriterium

För att bestämma systemets stabilitet byggs tabeller av formuläret:

Odds	Strängar	kolumn 1	kolumn 2	kolumn 3
	ett	$C_{{11}}=a_{0}=T_{1}T_{2}T_{3}$	$C_{{12}}=a_{2}=T_{1}+T_{2}+T_{3}$	$C_{{13}}=a_{4}$
	2	$C_{{21}}=a_{1}=T_{1}T_{2}+T_{2}T_{3}+T_{1}+T_{3}$	$C_{{22}}=a_{3}=1+k$	$C_{{23}}=a_{5}$
$r_{3}={\frac {C_{{11}}}{C_{{21}}}}$	3	$C_{{31}}=C_{{12}}-r_{3}C_{{22}}$	$C_{{32}}=C_{{13}}-r_{3}C_{{23}}$	$C_{{33}}=C_{{14}}-r_{3}C_{{24}}$
$r_{4}={\frac {C_{{21}}}{C_{{31}}}}$	fyra	$C_{{41}}=C_{{22}}-r_{4}C_{{32}}$	${\displaystyle C_{42}=C_{23}-r_{4}C_{33))$	$C_{{43}}=C_{{24}}-r_{4}C_{{34}}$

För systemets stabilitet är det nödvändigt att alla element i den första kolumnen har positiva värden; om det finns negativa element i den första kolumnen är systemet instabilt; om minst ett element är lika med noll, och resten är positiva, är systemet på gränsen för stabilitet.

Hurwitz kriterium

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

$\Delta _{n}=a_{n}\cdot \Delta _{{n-1}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&...&0\\a_ {0}&a_{2}&a_{4}&...&0\\0&a_{1}&a_{3}&...&0\\...&...&...&...&. ..\\0&...&...&...&a_{n}\end{vmatrix}}$ - Hurwitz determinant

Sats : för stabiliteten hos en sluten ACS är det nödvändigt och tillräckligt att Hurwitz-determinanten och alla dess mindreåriga är positiva vid $a_{0}>0.$

Mikhailovs kriterium

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

Låt oss ersätta , där ω är vinkelfrekvensen för svängningarna som motsvarar den rent imaginära roten av det givna karakteristiska polynomet. $p=j\omega$

$D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{{j\psi (\omega )}}$

$X(\omega )=a_{n}-a_{{n-2}}\omega ^{2}+...$

$Y(\omega )=a_{{n-1}}\omega -a_{{n-3}}\omega ^{3}+...$

Kriterium : för stabiliteten av ett linjärt system av n:e ordningen är det nödvändigt och tillräckligt att Mikhailov-kurvan, konstruerad i koordinater , passerar sekventiellt genom n kvadranter. $X(\omega ),Y(\omega )$

$D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})$

$p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n} )$

Tänk på förhållandet mellan Mikhailov-kurvan och tecknen på dess rötter (α>0 och β>0)

1) Roten till den karakteristiska ekvationen är ett negativt reellt tal $p_{1}=-\alpha _{1}$

Faktorn som motsvarar den givna roten $(\alpha _{1}+j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=-\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ högerpil {\frac {\pi }{2))$

2) Roten till den karakteristiska ekvationen är ett positivt reellt tal $p_{1}=+\alpha _{1}$

Faktorn som motsvarar den givna roten $(\alpha _{1}-j\omega )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=+\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \ högerpil -{\frac {\pi }{2}}$

3) Roten till den karakteristiska ekvationen är ett komplext talpar med en negativ reell del $p_{{2,3}}=-\alpha _{1}\pm j\beta$

Faktorn som motsvarar den givna roten $(j\omega +\alpha _{1}-j\beta )(j\omega +\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=-\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=-\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}- \gamma \\\psi _{3}\högerpil +{\frac {\pi }{2}}+\gamma \end{matris}}\höger.\Högerpil \psi \högerpil +2{\frac {\pi }{2}}=+\pi$ , var $\gamma =\operatörsnamn {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

4) Roten till den karakteristiska ekvationen är ett komplext talpar med en positiv reell del $p_{{2,3}}=+\alpha _{1}\pm j\beta$

Faktorn som motsvarar den givna roten $(j\omega -\alpha _{1}-j\beta )(j\omega -\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=+\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=+\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}+ \gamma \\\psi _{3}\högerpil -{\frac {\pi }{2}}-\gamma \end{matris}}\höger.\Högerpil \psi \högerpil -2{\frac {\pi }{2}}=-\pi$ , var $\gamma =\operatörsnamn {arctg}{\frac {\beta }{\alpha ))$

Nyquist kriterium

Nyquistkriteriet är ett grafanalytiskt kriterium. Dess karakteristiska egenskap är att slutsatsen om stabiliteten eller instabiliteten hos ett slutet system görs beroende på typen av amplitudfas eller logaritmiska frekvenskarakteristika för ett öppet system.

Låt det öppna systemet representeras som ett polynom $W(p)={\frac {R(p)}{Q(p)}}={\frac {b_{0}p^{n}+b_{1}p^{n-1} +...+b^{n}}{a_{0}p^{m}+a_{1}p^{m-1}+...+a^{m}}}$

då gör vi ett byte och får: $p=j\omega$ $W(j\omega )={\frac {R(j\omega )}{Q(j\omega )}}(*)=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^ {{j\psi (\omega)}}$

För mer bekväm konstruktion av hodografen för n>2, tar vi ekvationen (*) till "standard"-formen: $W(j\omega )={\frac {K(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})[(1-\tau _{3}^{ 2}\omega ^{2})+2j\xi _{3}\tau _{3}\omega ]...}{(j\omega )'[(1-T_{2}^{2}\ omega ^{2})+2j\xi _{2}T_{2}\omega ](-1+j\omega T_{3})...}}$

Med denna representation är modulen A(ω) = | W(jω)| är lika med förhållandet mellan modulerna för täljaren och nämnaren, och argumentet (fas) ψ(ω) är skillnaden mellan deras argument. I sin tur är modulen för produkten av komplexa tal lika med produkten av modulerna, och argumentet är summan av argumenten.

Moduler och argument som motsvarar faktorerna för överföringsfunktionen:

Faktor	$A(\omega)$	$\psi (\omega)$
k	k	0
sid	ω	${\frac {\pi }{2))$
$p^{2}$	$\omega ^{2}$	$\pi$
$Tp+1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\operatörsnamn {arctg}\omega T$
$Tp-1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$\pi -\operatörsnamn {arctg}\omega T$
$1-Tp$	${\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}$	$-\operatörsnamn {arctg}\omega T$
$T^{2}p^{2}+1$	$\left\|1-T^{2}\omega ^{2}\right\|$	${\begin{matrix}0,&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi ,&\omega >{\frac {1}{T}}\end{matrix}}$
$T^{2}p^{2}+2\xi Tp+1$	${\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4\xi ^{2}T^{2}\omega ^{2))}$	${\begin{matrix}\operatörsnamn {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega <{\frac {1}{ T}}\\\pi +\operatörsnamn {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega \geqslant {\frac { 1}{T}}\end{matris}}$

Sedan konstruerar vi en hodograf för hjälpfunktionen , som vi kommer att ändra för $W_{1}(j\omega )=1+W(j\omega )$ $\omega [0;{\mathcal {1)))$

För , men för (eftersom n<m och ) $\omega =0,\quad W_{1}(j\omega )=K+1$ $\omega ={\mathcal {1)),\quad W_{1}(j\omega )=1$ $W(j\omega )=0$

För att bestämma den resulterande rotationsvinkeln hittar vi skillnaden mellan argumenten för täljaren och nämnaren $\psi_{1}$ $\psi_{2}$

Polynomet för täljaren för hjälpfunktionen har samma grad som polynomet för dess nämnare, vilket innebär att den resulterande rotationsvinkeln för hjälpfunktionen är 0. Detta betyder att för stabiliteten i det slutna systemet, hodografen av hjälpfunktionsvektorn bör inte täcka origo, respektive hodografen för funktionen , en punkt med koordinater $\psi_{1}=\psi_{2}$ $W(j\omega)$ $(-1;j0)$

Marginal för självgående vapenstabilitet

Under driftförhållanden kan systemets parametrar, av en eller annan anledning, ändras inom vissa gränser (åldrande, temperaturfluktuationer etc.). Dessa fluktuationer i parametrar kan leda till förlust av systemstabilitet om det verkar nära stabilitetsgränsen. Därför strävar de efter att utforma systemet så att det fungerar långt från stabilitetsgränsen. Graden av detta avlägsnande kallas stabilitetsmarginalen.

Behovet av en stabilitetsmarginal bestäms av följande förutsättningar:

Avvisande av icke-linjära termer under linearisering.
Koefficienterna som ingår i ekvationen som beskriver ACS bestäms med ett fel.
Forskningsstabilitet för typiska system under typiska förhållanden.

Kriterier

Rutkriterium: för att modellera en stabilitetsmarginal är det nödvändigt att elementen i den första kolumnen är större än något fast värde ε>0, kallat stabilitetsmarginalfaktorn.
Hurwitz- kriterium : stabilitetsmarginalen bestäms på samma sätt som Routh-stabilitetsmarginalen, endast ε karakteriserar värdet av Hurwitz-determinanten.
Mikhailovs kriterium: en cirkel med radie som inte är noll med ett centrum i punkten O (0; 0) är inskriven. Marginalen bestäms av radien för denna cirkel. Systemet är instabilt när Mikhailov-kriteriet överträds eller när Mikhailov-kurvan skär en cirkel.
Nyquist-kriterium : här är den kritiska punkten (-1; j0), därför byggs en förbjuden zon runt denna punkt, vars radie kommer att representera stabilitetsfaktorn.

Jämförande egenskaper hos stabilitetskriterier

Frekvens Nyquist-kriteriet är tillämpligt främst när det är svårt att erhålla fasegenskaper experimentellt. Men beräkningen av AFC, särskilt frekvens, är svårare än konstruktionen av Mikhailov-kurvor. Dessutom ger platsen för AFC inte ett direkt svar på frågan: är systemet stabilt, det vill säga ytterligare forskning krävs om systemets stabilitet i öppet tillstånd.

Mikhailov-kriteriet tillämpas på system av vilken ordning som helst, i motsats till Routh-kriteriet. Med hjälp av frekvens Nyquist-kriteriet och Mikhailov-kriteriet kan de karakteristiska kurvorna byggas gradvis, med hänsyn till påverkan av varje länk, vilket gör kriterierna tydliga och löser problemet med att välja systemparametrar från stabilitetsvillkoret.

Se även

Anteckningar

↑ Rotach V.Ya. Teori om automatisk styrning. - 2:a, reviderad. och ytterligare .. - Moskva: MPEI, 2004. - S. 3-15. — 400 s. - ISBN 5-7046-0924-4 .
↑ A. V. Andryushin, V. R. Sabanin, N. I. Smirnov. Ledning och innovation inom termisk kraftteknik. - M: MPEI, 2011. - S. 15. - 392 sid. — ISBN 978-5-38300539-2

Litteratur

Besekersky V.A. Teori om automatiska styrsystem: lärobok. ersättning. - St Petersburg. : Yrke, 2007.
Besekersky V.A., Popov E.P. 4:e upplagan // Teori om automatiska styrsystem. - St Petersburg. : Yrke, 2003.
Vasiliev DV, Chuich VG Beräkning av automatiska styrsystem. - M. - L .: Mashgiz, 1959. - 390 sid.
Goodwin G.K., Grebe S.F., Salgado M.E. Design av styrsystem. - M . : Binom, Basic Knowledge Laboratory, 2004.
Dorf R., Biskop R. Moderna styrsystem. - M . : Binom, Basic Knowledge Laboratory, 2004.
Egorov, AI Osnovy teorii upravleniya: ucheb. ersättning. — M. : Fizmatlit, 2007.
Zubov, V. I. Föreläsningar om kontrollteori: lärobok. ersättning. - St Petersburg. : Lan, 2009.
Knorring, V. I. Teori, praktik och ledningskonst: en lärobok för universitet. - M . : Norma, 2007 (märkt av Ryska federationens försvarsministerium).
Miroshnik I.V. Teori om automatisk styrning. Linjära system. - St Petersburg. : Peter, 2005.
Parakhina V.N. Workshop om kontrollteori: lärobok. ersättning. - M. : Finans och statistik, 2009 (certifierad av UMO MO RF).
Pervozvansky A.A. Kurs i teorin om automatisk styrning. — M .: Nauka, 1986.
Popov E.P. Teori om linjära system för automatisk reglering och kontroll .. - M . : Nauka, 1989.
Ruzhnikov G.M. En kurs med föreläsningar om TAU.
Senigov P.N. Theory of Automatic Control. Föreläsningsanteckningar.
Makarov I. M., Lokhin V. M., Manko S. V., Romanov M. P. Artificiell intelligens och intelligenta kontrollsystem. - M. : Nauka, 2006. - 333 sid. — ISBN 5-02-033782-X .

Ordböcker och uppslagsverk	runt världen
I bibliografiska kataloger	GND : 4076594-5