Tarskis axiomatik (geometri)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 mars 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Tarskis axiomatik är ett system av axiom för elementär euklidisk geometri som föreslagits av Alfred Tarski . Anmärkningsvärt genom att det är formulerat i första ordningens logik med likhet och inte kräver mängdlära .

Historik

Alfred Tarski arbetade intermittent med sin axiomatisering från 1926 till sin död 1983; publicerades första gången 1959. [1] Tarski bevisade i synnerhet att hans axiomatik är komplett och konsekvent; Dessutom finns det en algoritm som låter dig ta reda på om något påstående är sant eller falskt. (Denna sats motsäger inte Gödels ofullständighetsteorem , eftersom det inte finns något sätt att uttrycka aritmetik i Tarskis axiomatik för geometri.)

Tarskis och hans elevers huvudverk i denna riktning presenteras i en monografi från 1983. [2] Den axiom som presenteras i denna bok består av 10 axiom och ett axiomschema .

Axiom

Odefinierade begrepp

Lie Between är en ternär relation Bxyz , vilket betyder att y "ligger mellan" x och z . Med andra ord, att y är en punkt på xz . (I det här fallet ingår ändarna, det vill säga som kommer att följa av axiomen är Bxxz sant).

Kongruens är en tetradrelation wx ≡ yz , vilket betyder att segmentet wx är kongruent med segmentet yz ; med andra ord, att längden på wx är lika med längden på yz .

Axiom

Reflexivitet av kongruens: $xy\equiv yx\,.$

Kongruensidentitet: $xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

Transitivitet av kongruens: $(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

Identitetsrelationen ligger mellan: $Bxyx\rightarrow x=y.$

Det vill säga den enda punkten på linjesegmentet är själva punkten .

xx

x

Axiom Pasha : $(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).$

Två diagonaler av en konvex fyrhörning måste skära varandra någon gång.

xuvy

Schema för kontinuitetsaxiom. Låta och vara första ordningens formler utan fria variabler a eller b . Låt också det inte finnas några fria variabler i eller i . Då är alla uttryck av följande typ axiom: $\phi(x)$ $\psi (y)$ $x$ $\psi (y)$ $y$ $\phi(x)$ $\exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\ forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

Det vill säga, om och beskriver två uppsättningar punkter av strålen med vertex a , varav den första är till vänster om den andra, så finns det en punkt b mellan dessa uppsättningar.

\phi(x)

\psi (y)

Nedre dimensionsgräns : $\exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

Det vill säga, det finns tre icke-kollinjära punkter. Utan detta axiom kan teorier modelleras med en endimensionell reell linje, en enda punkt eller till och med en tom uppsättning .

Övre dimensionsgräns : $(xu\equiv xv\land yu\equiv yv\land zu\equiv zv\land u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

Det vill säga att alla tre punkter som är lika långt från två olika punkter ligger på en linje. Utan detta axiom kan teorin modelleras i flerdimensionell (inklusive tredimensionell ) rymd.

Axiom om det femte segmentet: ${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

Det vill säga, om segmenten av 4 markerade par i de två ritningarna till höger är lika, då är segmenten i det femte paret lika med varandra.

Bygga ett segment: $\exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

Det vill säga från vilken punkt som helst i vilken riktning som helst kan du skjuta upp ett segment med en given längd.

Anteckningar

↑ Tarski, Alfred (1959), Vad är elementär geometri?, i Leon Henkin, Patrick Suppes och Alfred Tarski, Den axiomatiska metoden. Med särskild hänvisning till geometri och fysik. Handlingar av ett internationellt symposium som hölls vid Univ. of Calif., Berkeley, dec. 26, 1957-jan. 4, 1958 , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, sid. 16–29 .
↑ Schwabhäuser, W., Szmielew, W., Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden in der Geometrie . Springer-Verlag.

Länkar

Beklemishev L. D. Elementär geometri ur logikens synvinkel. föreläsningar av Sommarskolan "Modern Mathematics", 20-23 juli 2014.