Brownsk bro

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 mars 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En Brownsk bro är ett specialfall av en slumpmässig promenad med kontinuerlig tid ( Wienerprocessen ) när start- och slutpunkterna är desamma: . Standard Wienerprocessen är "bunden" vid startpunkten , men har ett fritt slut. Brownska bron är fixerad både i början och i slutet . $B(t)$ $B(0)=B(1)=0$ $W(0)=0$ $B(0)=0$ $B(1)=0$

Egenskaper

En Brownsk bro har ett medelvärde och en varians , vilket innebär den största osäkerheten i mitten av bron och full säkerhet i ändarna. Kovarians , där s < t . Inkrementen är inte oberoende. ${E}\left[B_{t}\right]=0$ $\mathrm {D} \left[B_{t}\right]=t(1-t)$ ${Cov}\left[B_{s},B_{t}\right]=s(1-t)$

Anslutning till andra slumpmässiga processer

Om W ( t ) är en standard Wienerprocess (dvs. för t ≥ 0, är W ( t ) normalfördelad med medelvärde 0 och varians t , och inkrementen är oberoende ), så har vi en Brownsk brygga

B\left(t\right)=W(t)-t\cdot W(1)

I sin tur, om vi tar en Brownsk brygga B ( t ) och en standardnormalfördelad stokastisk variabel Z , då

W(t)=B\left(t\right)+tZ

är en wienerprocess för t ∈ [0, 1]. I allmänhet har vi för t ∈ [0, T ]

W(t)=B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z

Den Brownska bron är en konsekvens av Donsker-Prokhorovs teorem som tillämpas på empiriska processer . Det används också i Kolmogorov-Smirnovs godhet-of-fit-test för statistisk slutledning .

Används i beviset för Kolmogorovs teorem . Låt fördelningsfunktionen vara kontinuerlig, betrakta en slumpvariabel $F(x)$

D_{n}=\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|{\hat {F}}_{n}(x)-F(x)|

, var

{\hat {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {I} \{X_{j }\leqslantx\}

är den empiriska fördelningsfunktionen.

Låt bli en wienerprocess. $(W_{t},t\in [0,1])$

Sedan , det vill säga, det maximala gapet mellan den sanna fördelningsfunktionen och den empiriska (som är lätt att konstruera från det tillgängliga finita urvalet), multiplicerat med (ansvarig för konvergenshastigheten), tenderar i fördelningen till ett maximum på intervallet av Brownian Bridge-modulen. ${\sqrt {n}}\cdot D_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\max \limits _{t\in [0,1]}|W_{t}-tW_{ 1}|$ $D_{n}$ ${\sqrt {n}}$

Allmänt fall

I det allmänna fallet, när och , är fördelningen för normal: $B(t_{1})=a$ $B(t_{2})=b$ $B(t)$ $t\in (t_{1},t_{2})$

B(t)\sim N\left(a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(ba),{\frac {(t-t_{ 1})(t_{2}-t)}{t_{2}-t_{1}}}\right)

Notera

Anta att vi har genererat en sekvens av punkterna W (0), W (1), W (2), W (3), etc. Wienerprocess med datorsimulering. Om vi vill infoga en extra punkt på intervallet [0,1], måste vi använda en Brownsk bro som går genom W (0) och W (1).

Se även

Gaussisk process
Wienerprocess
engelsk Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering , ISBN 0-387-00451-3 , Springer-Verlag New York, 2004