Variation (matematik)

Variation (från latin variation - förändring, förändring) är en term som introducerades i matematiken av J. L. Lagrange 1762 i hans verk "Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines" [1] för notation för en liten förskjutning av en oberoende variabel eller funktionell.

Begreppet "variation" introducerades som en del av metoden för variationer i studiet av extrema problem, baserat på små förskjutningar av argumentet och studiet av hur funktionaler förändras beroende på dem. Denna metod är en av huvudmetoderna för att lösa extremumproblem (därav namnet på den sektion av matematik som studerar detta problem - " variationskalkyl ").

Relaterade definitioner

Tänk på lite utrymme , där det funktionella ges , och är utrymmet för vissa parametrar. Under variationen av argumentet förstår vi vanligtvis kurvan , där vid , och , i rymden som passerar genom i en viss närhet till begränsningarna, och värdet motsvarar . Således, när uppsättningen av alla parametrar löper igenom, löper variationerna genom en viss familj av kurvor med början från punkten . $X$ $f(x)$ $V$ $x_{0}\i X$ $x(t,v)$ $\alpha \leqslant t\leqslant \beta$ $\alpha \leqslant 0$ $\beta \geqslant 0$ $v\in V$ $X$ $x_{0}$ $x_{0}$ $t = 0$ $v$ $x_{0}$

I ändlig-dimensionell och oändlig dimensionell analys, med början från J. Lagranges första arbete , tillämpas vanligtvis variationer i riktningarna , när och . I det här fallet kallas vektorn en variation . Men detta är inte det enda fallet med variationer, så i geometrin, i variationskalkylen och speciellt i teorin om optimal kontroll, används till exempel streckade linjer , nålvariationer [2] , variationer associerade med glidlägen [3] . $V=X$ $x(t,v)=x_{0}+tv$ $v$

Valet av variationsutrymmet och själva konstruktionen av variationerna är det viktigaste elementet för att erhålla de nödvändiga extrema förhållandena.

Se även

Anteckningar

↑ Lagrange J. Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines (franska) . Turin, 1762.
↑ Bliss G. A. Föreläsningar om variationskalkylen. - per. från engelska. - M., 1950.
↑ Pontryagin L. S. Matematisk teori om optimala processer. - 2:a uppl. - M., 1969.