Vektor gitter

Ett vektorgitter ( -lineal , Rees-rymden , i tidiga ryska källor - även en linjär struktur ) är ett verkligt eller komplext vektorrum försett med strukturen av ett algebraiskt gitter . Först övervägt av Rees 1928 , med hjälp av konstruktioner baserade på det, erhölls viktiga resultat i funktionsanalys . $K$

Ett vektorgitter kan definieras axiomatiskt på ett vektorrum med en godtycklig distingerad underklass av element , kallad positiva element ( ), genom att införa en partiell ordningsrelation enligt följande: (i detta fall ), om följande villkor också är uppfyllda: $X$ $X_{+}\subset X$ ${\displaystyle 0\notin X_{+))$ ${\displaystyle x>y\Leftrightarrow xy\in X_{+))$ $x\in X_{+}\Rightarrow x>0$

om , då , $x>0$ $x\neq 0$
om och då $x>0$ $y>0$ $x+y>0$
för vilka två element som helst finns deras högsta , $x,y\i X$ $x\vee y$
om och för ett element i ett numeriskt fält , , då [1] . $x>0$ $\lambda$ $\lambda>0$ $\lambda x>0$

Alla vektorgitter är distributiva [2] .

En viktig egenskap i vektorgitter är representabiliteten av ett element som skillnaden mellan två positiva element , där kallas den positiva delen av elementet , och är dess negativa del. I dessa termer introduceras begreppet modul för ett element också enligt följande: , och är alltid nöjd . För avgränsningen av en mängd i ett vektorgitter är det nödvändigt och tillräckligt att uppsättningen av moduler för dess element är avgränsad [3] . $x\i X$ ${\displaystyle x=x_{+}-x_{-))$ $x_{+}=x\vee 0$ $x$ $x_{-}=(-x)\vee 0$ $|x|=x_{+}+x_{-}$ $x\leqslant x_{+}\leqslant |x|$ $U\in X$ ${\displaystyle U^{*}=\{|x|,\,x\in U\))$

Av särskilt intresse i funktionell analys är vektorgitter med ytterligare rumslig struktur, såsom Banach-gitter [4] .

Anteckningar

↑ Vulikh, 1961 , sid. 59-60.
↑ Vulikh, 1961 , sid. 69-69.
↑ Vulikh, 1961 , sid. 68.
↑ Bukhvalov, 1979 .

Litteratur

A. V. Bukhvalov, A. I. Veksler, G. Ya. Lozanovsky. Banach Lattices – Some Banach Aspects of Theory // Framsteg inom matematiska vetenskaper . - 1979. - T. 34 , nr 2 (206) . — S. 137–183 .
Vulikh B. Z. Kapitel III. Linjära strukturer // Introduktion till teorin om halvordnade rum. - M. : Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1961. - 408 sid. - 9000 exemplar.