Maktens ögonblick

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 januari 2022; kontroller kräver 6 redigeringar .

Maktens ögonblick
$\vec{M}=\vänster[\vec{r}\times\vec{F}\höger]$
Dimensionera	L2MT -2 _ _
Enheter
SI	N m
GHS	Dina - centimeter
Anteckningar
Pseudovektor

Kraftmoment ( kraftmoment i förhållande till en punkt ) är en vektorfysisk storhet som kännetecknar kraftens verkan på ett mekaniskt föremål, vilket kan orsaka dess rotationsrörelse. Den definieras som korsprodukten av radievektorn för kraftappliceringspunkten och kraftvektorn . Kraftmoment som bildas under olika förhållanden inom tekniken kan ha namn: vridmoment, vridmoment, vridmoment, vridmoment, vridmoment . ${\vec {r))$ $\vec{F}$

Kraftmomentet betecknas med symbolen eller, mer sällan, (tau). ${\vec {M}}$ ${\vec {\tau ))$

SI - enhet : N⋅m . Storleken på kraftmomentet beror på valet av ursprunget för radievektorerna O.

Begreppet kraftmoment används främst inom området statik och uppgifter relaterade till rotation av delar ( spakar , etc.) inom teknisk mekanik . Fallet med rotation av en stel kropp runt en fast axel är särskilt viktigt - då väljs O på denna axel, och istället för själva momentet betraktas dess projektion på axeln ; en sådan projektion kallas kraftmomentet kring axeln . ${\displaystyle M_{\parallel ))$

Närvaron av ett kraftmoment medför en förändring av kroppens rörelsemängd i förhållande till samma början O med tiden : relationen äger rum . Inom statik är likheten till noll av summan av momenten av alla krafter som appliceras på kroppen ett av villkoren (tillsammans med likheten till noll av summan av krafter) för förverkligandet av vilotillståndet. $\vec{L}$ $t$ $d{\vec {L}}/dt={\vec {M}}$

Definition, allmän information

Inom fysiken spelar kraftmomentet rollen som en roterande effekt på kroppen.

I det enklaste fallet, om kraften appliceras på hävarmen vinkelrätt mot den och rotationsaxeln, definieras kraftmomentet som produkten av storleken av avståndet från platsen för applicering av kraften till axeln på vridning av spaken, kallad "kraftens axel": $\vec{F}$ $F$ $x$

M=[{\rm {force}}]\cdot [{\rm {force\,arm}}]=Fx

Till exempel skapar en kraft på 3 newton som appliceras på ett avstånd av 2 m från axeln samma moment som en kraft på 1 newton med en skuldra på 6 m.

Om två krafter verkar, talar de om ögonblicket för ett kraftpar (denna formulering går tillbaka till Arkimedes verk ). I detta fall uppnås jämvikt i situationen . ${\displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2))$

För fall av mer komplexa rörelser och mer komplexa objekt kräver definitionen av ett ögonblick som en produkt universalisering. $Fx$

Kraftmomentet kallas ibland för vridmoment eller vridmoment. Ett "roterande" moment förstås inom tekniken som en yttre kraft som appliceras på ett objekt, och ett "vridmoment"-moment förstås som ett inre moment som uppstår i själva objektet under inverkan av applicerade belastningar (detta begrepp används i styrka av material ).

Kraftmoment om en punkt

I det allmänna fallet definieras kraftmomentet som appliceras på kroppen som vektorprodukten $\vec{F}$

{\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]

var är radievektorn för kraftappliceringspunkten. Vektorn är vinkelrät mot vektorerna och . ${\vec {r))$ ${\vec {M}}$ ${\vec {r))$ $\vec{F}$

Ursprunget för radievektorerna O kan vara vad som helst. Vanligtvis väljs O vid en vald punkt: på den plats där upphängningen är fixerad, i masscentrum, på rotationsaxeln, etc. Om kroppens rörelsemängd analyseras samtidigt , är ursprunget O alltid valt att vara samma för och . $\vec{L}$ $\vec{L}$ ${\vec {M}}$

Om inget annat anges är ett "kraftmoment" ett kraftmoment kring en punkt (O), inte någon axel.

I fallet med flera applicerade koncentrerade krafter summeras deras moment vektoriellt:

{\vec {M}}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]

där är radievektorn för anbringningspunkten för den th kraften . I fallet med en kraft fördelad med densitet , ${\vec {r}}_{i}$ $i$ ${\vec {F}}_{i}$ $d{\vec {F}}/dV$

{\vec {M}}=\int \limits _{V}\left[{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {F}}}{dV}}\right ]dV

Om (N/m 3 ) är en generaliserad funktion som också kan innehålla deltaliknande termer, så täcker de två sista formlerna de två föregående. $d{\vec {F}}/dV$

Kraftmoment runt axeln

Kraftmomentet kring axeln är det algebraiska värdet av projiceringen av momentet på axeln, dvs. ${\vec {M}}$

M_{\parallel }={\vec {M}}\cdot {\vec {e}}_{o}

där är enhetsvektorn längs axeln, och origo O väljs på axeln. Kraftmomentet kring axeln kan beräknas som ${\vec {e}}_{o}$

M_{\parallel }=\pm \left|{\vec {r}}_{\perp }\times {\vec {F}}_{\perp }\right|

där och är komponenterna i radievektorn och krafterna i planet vinkelrät mot axeln. ${\vec {r}}_{\perp }$ ${\vec {F}}_{\perp }$

Till skillnad från kraftmomentet ändras inte storleken på kraftmomentet kring axeln när punkten O förskjuts längs axeln. ${\vec {M}}$ ${\displaystyle M_{\parallel ))$

För korthetens skull kan symbolen för parallellism och tecknet utelämnas, och (som ) kallas "kraftögonblicket". ${\displaystyle M_{\parallel ))$ ${\vec {M}}$

Måttenheter

Kraftmomentet har dimensionen "kraft multiplicerad med avstånd" och måttenheten är newtonmeter i SI- systemet . 1 Nm är det moment som produceras av en kraft på 1 N på en hävarm som är 1 m lång, anbringad på änden av hävarmen och riktad vinkelrätt mot den.

Formellt sammanfaller dimensionen (N m) med dimensionerna för energi och mekaniskt arbete . Men användningen av enheten "joule" i detta sammanhang är oönskad, eftersom detta skymmer den fysiska innebörden. ${\vec {M}}$

Några exempel

Spakmomentformel

Kraftmomentet som verkar på spaken är

{\vec {M}}=rF\sin \alpha \cdot {\vec {e}}_{o}

eller, om vi skriver kraftmomentet runt axeln,

M_{\parallel }=rF\sin \alpha

var är vinkeln mellan kraftens riktning och spaken. Hävstångseffekten är densamma . Momentets maximala värde uppnås när spaken och kraften är vinkelräta, det vill säga vid . Med co -direction och spaken är momentet lika med noll. $\alfa$ $r\sin \alpha$ $\alpha =\pi /2$ $\vec{F}$

Statisk jämvikt

För att ett objekt ska vara i jämvikt måste inte bara summan av alla krafter vara lika med noll, utan också summan av momenten av alla krafter runt vilken punkt som helst.

För det tvådimensionella fallet med horisontella och vertikala krafter är kravet att summan av krafterna i två dimensioner är noll: och kraftmomentet i den tredje dimensionen: . $\Sigma F_{horisontal}=0,\,\Sigma F_{vertical}=0$ $\Sigma M=0$

Stel kroppsrörelse

Rörelsen hos en stel kropp kan representeras som rörelsen av en specifik punkt och rotation runt den.

Vinkelmomentet relativt punkten O i en stel kropp kan beskrivas genom produkten av tröghetsmomentet och vinkelhastigheten relativt masscentrum och masscentrums linjära rörelse.

{\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+[M({\vec {r_{o}}}-{\vec {r_{c }}}),{\vec {v_{c}}}}].

Vi kommer att överväga roterande rörelser i Koenigs koordinatsystem , eftersom det är mycket svårare att beskriva rörelsen hos en stel kropp i världens koordinatsystem.

Låt oss skilja detta uttryck med avseende på tid. Och om är en konstant i tiden, alltså $jag$

{\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}),

där - vinkelacceleration , mätt i radianer per sekund per sekund (rad/s 2 ). Exempel: En enhetlig skiva roterar. ${\vec {\alpha ))$

Om tröghetstensorn ändras med tiden, så beskrivs rörelsen kring masscentrum med Eulers dynamiska ekvation:

{\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c} {\vec {w}}].

Samband med andra kvantiteter

Med vinkelmomentum

Kraftmomentet är derivatan av rörelsemängden med avseende på punkten O med avseende på tiden: ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

{\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}

En liknande formel kan skrivas för ögonblick om axeln:

M_{\parallel }={\frac {dL_{\parallel }}{dt}}

Om kraftmomentet eller är noll, bevaras rörelsemängden kring motsvarande punkt eller axel . ${\vec {M}}$ ${\displaystyle M_{\parallel ))$

Med kraft

Om kraften utför en åtgärd på något avstånd, utför den mekaniskt arbete och utvecklar kraft (var är hastigheten för en materialpunkt). Det är samma sak i fallet med kraftmomentet: om den utför en handling genom "vinkelavståndet" utvecklas kraften ${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ $\vec{v}$

P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}

I SI- systemet mäts effekten i watt och vinkelhastigheten mäts i radianer per sekund . $P$ $\vec{\omega}$

Med mekaniskt arbete

Om kroppen under inverkan av ett kraftmoment roterar i en vinkel , utförs mekaniskt arbete ${\vec {M}}$ $d\varphi$

dA=\left|{\vec {M}}\right|d\varphi

Att rotera, säg, en spak runt en fast axel med en vinkel, får vi $\varphi _{2}-\varphi _{1}$

A=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left|{\vec {M}}\right|d\varphi =\left|{\vec {M }}\right|(\varphi _{2}-\varphi _{1})=\left|{\vec {M}}\right|\int _{t_{1}}^{t_{2}} \omega (t)dt

I SI- systemet mäts arbete i joule och vinklar mäts i radianer . $A$

Dimensionen av arbete (och energi) sammanfaller med dimensionen av kraftmomentet (”newtonmeter” och joule är samma enheter). Ett kraftmoment på 1 Nm, när spaken eller axeln roteras med 1 radian, utför ett arbete på 1 J, och när den roteras ett varv utför den mekaniskt arbete och ger jouleenergi. $2\pi$

Mätning av kraftmomentet

Mätningen av kraftmomentet utförs med hjälp av speciella instrument - torsiometrar . Principen för deras funktion är vanligtvis baserad på att mäta vridningsvinkeln för en elastisk axel som överför vridmoment, eller på att mäta deformationen av någon elastisk spak. Deformations- och vridningsvinkelmätningar görs av olika töjningsmätare - töjningsmätare , magnetoelastiska , såväl som små förskjutningsmätare - optiska, kapacitiva , induktiva , ultraljudsmätare , mekaniska.

Det finns speciella momentnycklar för att mäta åtdragningsmomentet för gängade anslutningar och justerbara och icke justerbara momentbegränsare, de så kallade "spärrarna" som används i skiftnycklar , skruvmejslar , skruvmikrometrar , etc.

Från historien om konceptet

För att förstå var begreppet kraftmoment kom ifrån och hur de kom till det, är det värt att överväga verkan av en kraft på en spak som roterar runt en fast axel. Arbetet som utförs under inverkan av en kraft på en spak som roterar runt en fast axel kan beräknas utifrån följande överväganden. ${\vec {F}}$ ${\vec {r))$

Låt, under inverkan av en kraft, änden av spaken förskjuts av ett oändligt litet segment , vilket motsvarar en oändligt liten vinkel . Beteckna med en vektor som är riktad längs ett infinitesimalt segment och är lika med det i absolut värde. Vinkeln mellan vektorerna och är , och vinkeln mellan vektorerna och är . $dl$ $d\varphi$ $d{\vec {l))$ $dl$ ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\beta$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $\alfa$

Därför är det oändliga arbetet som kraften utför på en oändligt liten sektion lika med skalärprodukten av vektorn och kraftvektorn, det vill säga . $dA$ ${\vec {F}}$ $dl$ $d{\vec {l))$ $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}$

Låt oss nu försöka uttrycka vektorns modul i termer av radievektorn , och projektionen av kraftvektorn på vektorn i termer av vinkeln . $d{\vec {l))$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\alfa$

Eftersom för en oändligt liten rörelse av spaken , kan vi anta att rörelsebanan är vinkelrät mot spaken , med hjälp av relationerna för en rätvinklig triangel, kan vi skriva följande likhet: , där i fallet med en liten vinkel, och därför, . $dl$ ${\vec {r))$ $dl=r\mathrm {tg} \,d\varphi$ $\mathrm {tg} \,d\varphi =d\varphi$ $\left|d{\vec {l}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi$

För projektionen av kraftvektorn på vektorn kan man se att vinkeln och sedan får vi det . ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\beta ={\frac {\pi }{2}}-\alpha$ $\cos {\left({\frac {\pi}{2))-\alpha \right)}=\sin \alpha$ $\left|{\vec {F}}\right|\cos \beta =\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$

Låt oss nu skriva det infinitesimala arbetet i termer av nya jämlikheter: , eller . $dA=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi \left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ $dA=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha \,d\varphi$

Det kan ses att produkten inte är något annat än modulen för vektorprodukten av vektorerna och det vill säga som antogs betecknas som kraftmomentet eller modulen för vektorn för kraftmomentet . $\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|$ $M$ $\left|{\vec {M}}\right|$

Nu skrivs hela verket helt enkelt: , eller . $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|d\varphi$ $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {M}}\right|d\varphi$