Königs teorem (mekanik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Königs sats låter oss uttrycka den totala kinetiska energin i ett mekaniskt system i termer av rörelseenergin för massacentrum och rörelseenergin i förhållande till masscentrum. Formulerad och bevisad av J. S. König 1751 [1]

Formulering

Den kinetiska energin i ett mekaniskt system är rörelseenergin för masscentrum plus rörelseenergin i förhållande till masscentrum:

{T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,

där är systemets totala kinetiska energi, är den kinetiska energin för masscentrumets rörelse, är systemets relativa kinetiska energi [2] . $T$ $T_{0}$ $T_{r}$

Med andra ord är den totala kinetiska energin för en kropp eller system av kroppar i en komplex rörelse lika med summan av systemets energi i translationsrörelse och systemets energi i dess rörelse i förhållande till masscentrum.

En mer exakt formulering [3] :

Den kinetiska energin för ett system av materiella punkter är lika med summan av den kinetiska energin för hela systemets massa, mentalt koncentrerad i dess masscentrum och som rör sig med det, och den kinetiska energin för samma system i dess relativa rörelse med avseende på det translationellt rörliga koordinatsystemet med origo i masscentrum.

Slutsats

Låt oss ge ett bevis på Königs teorem för fallet när massorna av de kroppar som bildar det mekaniska systemet är fördelade kontinuerligt [4] . $S$

Låt oss hitta den relativa kinetiska energin för systemet , tolka det som den kinetiska energin beräknad med avseende på det rörliga koordinatsystemet . Låt vara radievektorn för den betraktade punkten i systemet i det rörliga koordinatsystemet. Sedan [5] : $T_{r}$ $S$ $\vec \rho$ $S$

T_r\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \ rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;,

där punkten betecknar den skalära produkten och integrationen utförs över området av utrymme som upptas av systemet vid den aktuella tiden.

Om är radievektorn för ursprunget för det rörliga systemet och är radievektorn för den betraktade punkten i systemet i det ursprungliga koordinatsystemet, då är förhållandet sant: ${\vec r}_{0}$ ${\vec {r))$ $S$

\vec r\;=\;\vec r_0 + \vec \rho\;.

Låt oss beräkna den totala kinetiska energin för systemet i det fall då ursprunget för koordinaterna för det rörliga systemet är placerat i dess masscentrum. Med hänsyn till den tidigare relationen har vi:

T\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r} {{\rm d}t}\,{\rm d}m\;=\;\frac{1}{2}\int \left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\cdot\left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\,{\rm d}m\;.

Med tanke på att radievektorn är densamma för alla , är det möjligt att, genom att öppna parentesen, ta ut den från integraltecknet : ${\vec r}_{0}$ ${\rm d}m$ $\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}$

T\;=\;\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r_0}{{ \rm d}t}\int \,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\int \ frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{1}{2} \int \frac{ {\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\ ;.

Den första termen på den högra sidan av denna formel (sammanfaller med den kinetiska energin för en materialpunkt, som är placerad vid det rörliga systemets ursprung och har en massa lika med det mekaniska systemets massa) kan tolkas [2] som den kinetiska energin för masscentrums rörelse.

Den andra termen är lika med noll, eftersom den andra faktorn i den är lika med systemets rörelsemängd i förhållande till masscentrum, vilket är lika med noll.

Den tredje termen, som redan har visats, är lika med , det vill säga systemets relativa kinetiska energi . $T_{r}$ $S$

Se även

Anteckningar

↑ Gernet, 1987 , sid. 258.
↑ 1 2 Zhuravlev, 2001 , sid. 72.
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mechanics. - S. 137-138. — 560 sid. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Zhuravlev, 2001 , sid. 71-72.
↑ Zhuravlev, 2001 , sid. 71.

Litteratur

Gernet M. M. Kurs i teoretisk mekanik. 5:e uppl. - M . : Högre skola, 1987. - 344 sid.
Zhuravlev VF Grunderna i teoretisk mekanik. 2:a uppl. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 sid. — ISBN 5-94052-041-3 .