Sats om rörelsen för systemets masscentrum

Satsen om rörelsen av systemets massacentrum (tröghetscentrum) är en av dynamikens satser , en konsekvens av Newtons lagar . Han hävdar att accelerationen av systemets masscentrum inte beror på de inre krafterna i samverkan mellan systemets kroppar, och relaterar denna acceleration till de yttre krafterna som verkar på systemet [1] [2] .

Systemet som avses i satsen kan vara vilket mekaniskt system som helst, till exempel en uppsättning materialpunkter , en utsträckt kropp eller en uppsättning förlängda kroppar.

Standardsatsen för satsen

När man överväger ett systems rörelse är det ofta användbart att känna till rörelselagen för dess masscentrum. I det allmänna fallet är denna lag, som är innehållet i satsen om masscentrums rörelse, formulerad enligt följande [1] :

Bevis

Låt systemet bestå av materialpunkter med massor och radievektorer . Massans centrum (tröghetscentrum) är [1] [3] en geometrisk punkt vars radievektor uppfyller likheten $N$ $mi}$ $\vec r_i$ ${\vec R}_{c}$

{\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

var är massan av hela systemet, lika med $M$ $\sum \limits _{i}m_{i}.$

Genom att differentiera två gånger i tiden, för accelerationen av masscentrum får vi: ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

var är accelerationen av en materialpunkt med nummer i . ${\vec a}_{i}$

För ytterligare övervägande delar vi in alla krafter som verkar på systemets kroppar i två typer:

yttre - krafter som verkar från kroppar som inte ingår i det aktuella systemet. Resultanten av yttre krafter som verkar på en materiell punkt med siffran i , betecknad med ; $\vec F_i$
inre - krafter med vilka själva systemets kroppar interagerar med varandra. Den kraft med vilken en punkt med nummer k verkar på en punkt med nummer i kommer att betecknas med . Följaktligen kommer slagkraften från den i : te punkten på den k : te punkten att betecknas med . För vilja ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Med hjälp av den introducerade notationen kan Newtons andra lag för var och en av de betraktade materiella punkterna skrivas i formen

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.\qquad \qquad

När vi summerar sådana ekvationer för all i får vi:

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \ gränser _{i}\summa \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad

Uttrycket är summan av de inre krafter som verkar i systemet. Låt oss nu ta hänsyn till att, enligt Newtons tredje lag, i denna summa motsvarar varje kraft en kraft som är sådan att och därför är uppfylld Eftersom hela summan består av sådana par är summan i sig lika med noll. På det här sättet, $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \ qquad

Vidare, betecknar och ersätter det resulterande uttrycket i likheten för , kommer vi fram till ekvationen $\sum \limits _{i}{\vec F}_{i}={\vec F}$ ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,

eller

\,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad

Masscentrums rörelse bestäms alltså endast av yttre krafter, och inre krafter kan inte ha någon inverkan på denna rörelse. Den sista formeln är det matematiska uttrycket för satsen om rörelsen för systemets masscentrum.

Alternativ formulering av satsen

Formen för den slutliga formeln för är exakt densamma som formeln för Newtons andra lag. Detta antyder giltigheten av en sådan formulering av satsen om masscentrums rörelse [1] [3] : ${\vec a}_{c}$

Lagen om bevarande av rörelsen av masscentrum

I frånvaro av yttre krafter, och även när summan av alla yttre krafter är lika med noll, är accelerationen av masscentrum noll, och därför är dess hastighet konstant. Således är påståendet sant, vilket är innehållet i lagen om bevarande av masscentrums rörelse:

I synnerhet om masscentrumet från början var i vila, kommer det under dessa förhållanden att fortsätta att vara i vila.

Det följer av lagen om bevarande av masscentrums rörelse att referensramen som är associerad med masscentrum i ett slutet system är tröghet. Användningen av sådana referenssystem i studien av de mekaniska egenskaperna hos slutna system är att föredra, eftersom på detta sätt den enhetliga och rätlinjiga rörelsen av systemet som helhet utesluts från beaktande.

Det finns fall då summan av externa krafter inte är lika med noll, men dess projektion i vilken riktning som helst är lika med noll. I det här fallet är projektionen av accelerationen av massacentrum i denna riktning också lika med noll och följaktligen ändras inte hastigheten för massacentrum längs denna riktning.

Betydelsen av satsen

Den bevisade satsen utvidgar och underbygger möjligheterna att använda begreppet en materiell punkt för att beskriva kroppars rörelse. Faktum är att om kroppen rör sig translationellt, så bestäms dess rörelse helt av masscentrumets rörelse, vilket i sin tur beskrivs av den resulterande ekvationen för . Således kan en progressivt rörlig kropp alltid betraktas som en materialpunkt med en massa lika med kroppens massa, oavsett dess geometriska dimensioner. Dessutom kan kroppen betraktas som en materiell punkt i alla de fall när kroppens rotation på grund av problemets förhållanden inte är av intresse, och för att bestämma kroppens position är det tillräckligt att veta läget för dess masscentrum. ${\vec a}_{c}$

Det praktiska värdet av teoremet ligger i det faktum att när du löser problemet med att bestämma arten av rörelsen av masscentrum, låter det dig helt utesluta alla inre krafter från övervägande.

Historik

Lagen om bevarande av masscentrums rörelse formulerades av Isaac Newton i hans berömda verk "The Mathematical Principles of Natural Philosophy ", publicerad 1687 . I. Newton skrev: "Tyngdpunkten för ett system av två eller flera kroppar från kropparnas samverkan med varandra förändrar inte vare sig dess vilotillstånd eller rörelse; därför är tyngdpunkten för systemet av alla kroppar som verkar på varandra (i avsaknad av yttre handlingar och hinder) antingen i vila eller rör sig likformigt och rätlinjigt” [4] . Vidare drog han slutsatsen: "Således måste translationsrörelsemängden för en enskild kropp eller ett system av kroppar alltid beräknas från rörelsen av deras tyngdpunkt" [4] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. - M . : Högre skola, 1995. - S. 273-280. — 416 sid. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. — M .: Fizmatlit; MIPT Publishing House, 2005. - T. I. Mechanics. - S. 115-116. — 560 sid. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ 1 2 Targ S. M. Tröghetscentrum (massacentrum) // Physical encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1999. - V. 5: Stroboskopiska enheter - Ljusstyrka. - S. 624-625. — 692 sid. — 20 000 exemplar. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ 1 2 Isaac Newton . Naturfilosofins matematiska principer = Philosophia naturalis principia matematica / Översättning från latin och anteckningar av A. N. Krylov . - M . : Nauka, 1989. - S. 45-49. — 688 sid. - (Vetenskapens klassiker). - ISBN 5-02-000747-1 .