Sats om förändringen i systemets rörelsemängd

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 februari 2019; kontroller kräver 5 redigeringar .

Satsen om förändringen av mängden rörelse (momentum) av systemet är en av dynamikens allmänna satser [1] , är en konsekvens av Newtons lagar . Förbinder mängden rörelse med impulsen av yttre krafter som verkar på de kroppar som utgör systemet. Systemet som avses i satsen kan vara vilket mekaniskt system som helst som består av vilka kroppar som helst [2] [3] .

Uttalande av satsen

Mängden rörelse (momentum) för ett mekaniskt system är ett värde lika med summan av rörelsemängderna (momentum) för alla kroppar som ingår i systemet. Impulsen av yttre krafter som verkar på systemets kroppar är summan av impulserna av alla yttre krafter som verkar på systemets kroppar.

Momentumändringssatsen för ett system säger [2] [3] :

Teoremet tillåter generalisering till fallet med icke-tröghetsreferensramar . I detta fall är det nödvändigt att lägga till de bärbara och Coriolis- tröghetskrafterna till de yttre krafterna [4] .

Bevis

Låt systemet bestå av materialpunkter med massor och accelerationer . Alla krafter som verkar på systemets kroppar kan delas in i två typer: $N$ $mi}$ ${\vec a}_{i}$

Yttre krafter är krafter som verkar på kroppar som inte ingår i det aktuella systemet. Resultanten av yttre krafter som verkar på en materiell punkt med numret i kommer att betecknas med . $\vec F_i$
Inre krafter är de krafter med vilka själva systemets kroppar interagerar med varandra. Den kraft med vilken en punkt med nummer k verkar på en punkt med nummer i kommer att betecknas , och kraften från den i -te punkten på den k -te punkten - . Uppenbarligen, om , då ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Med hjälp av den introducerade notationen skriver vi Newtons andra lag för var och en av de betraktade materiella punkterna i formen

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.

Om vi tar hänsyn till det och summerar alla ekvationer i Newtons andra lag får vi: $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d (m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\summa \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

Uttrycket är summan av alla inre krafter som verkar i systemet. Enligt Newtons tredje lag, i denna summa, motsvarar varje kraft en kraft som är sådan att och därför är uppfylld. Eftersom hela summan består av sådana par är summan i sig lika med noll. Således kan man skriva $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v))_{i})}{dt))=\summa \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Med hjälp av beteckningen för systemets rörelsemängd får vi $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ ${\vec {P}}$

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

När vi tar hänsyn till förändringen i rörelsemängden för yttre krafter får vi uttrycket för satsen om ändringen i rörelsemängden i systemet i differentiell form: $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$

d{\vec {P}}=d{\vec {R}.

Således tillåter var och en av de senast erhållna ekvationerna oss att hävda: förändringen i systemets rörelsemängd sker endast som ett resultat av verkan av yttre krafter, och inre krafter kan inte ha någon effekt på detta värde.

Efter att ha integrerat båda delarna av den erhållna jämlikheten över ett godtyckligt taget tidsintervall mellan några och , får vi uttrycket för satsen om förändringen i systemets rörelsemängd i integral form: $t_{1}$ $t_{2}$

{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),

var och är värdena för mängden rörelse i systemet vid tidpunkten respektive , och är impulsen av externa krafter över tidsintervallet . I enlighet med ovanstående och den införda notationen, ${\vec {P}}_{1}$ ${\vec {P}}_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$ ${\vec {R}}(t_{2},t_{1})$ $t_{2}-t_{1}$

{\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\summa \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {F}}_{i}(t)dt.

Lagen om bevarande av ett systems momentum

Av satsen om förändringen i systemets rörelsemängd följer att i frånvaro av yttre krafter (slutet system), samt när summan av alla yttre krafter är lika med noll, och . Med andra ord relationen $d{\vec {P}}=0$ ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$

{\vec {P}}=konst.

Följaktligen följer slutsatsen:

Detta uttalande är innehållet i lagen om bevarande av momentum av systemet [2] [3] .

Det finns fall då summan av externa krafter inte är lika med noll, men dess projektion i vilken riktning som helst är lika med noll. Då är förändringen i projektionen av systemets rörelsemängd i denna riktning också lika med noll, det vill säga, som de säger, mängden rörelse i denna riktning bevaras .

Fallet med ett system med idealiska stationära begränsningar

I de fall där ämnet för studien endast är systemets rörelse, och reaktionerna från bindningarna inte är av intresse, använder de formuleringen av teoremet för ett system med idealiska stationära bindningar, som härleds med hänsyn till d' Alembert-Lagrange-principen .

Satsen om förändringen av rörelsemängden för ett system med idealiska stationära begränsningar säger [5] :

"Aktiv" i förhållande till krafter (nedan är de markerade med en symbol i formlerna) betyder "inte vara reaktioner av bindningar". ${\displaystyle ^{a))$

I själva verket, enligt villkoret, när som helst tillåter alla punkter i systemet förskjutning parallellt med den fasta axeln . Genom att ersätta i den allmänna ekvationen för dynamik med , får vi: $\delta x$ $x$ $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {i}}\delta x$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\summa {\vec {F}}_{k}){\ vec{i}}\delta x

eller

{\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}} _{k}){\vec {i))

eller

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\summa {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}

vi hittar äntligen:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}

I den näst sista ekvationen inkluderar summan av aktiva krafter externa aktiva och inre aktiva krafter. Den geometriska summan av inre aktiva krafter, som parvis lika och motsatta, är lika med noll, därför presenteras endast externa (en extra ikon från den engelska externa ) aktiva krafter i den slutliga ekvationen. ${\vec {F}}_{k}^{a}$ ${\displaystyle ^{e))$

Historik

Om lagen om bevarande av momentum skrev Isaac Newton i sitt berömda verk " Matematical Principles of Natural Philosophy ", publicerad 1687 : motsatsen, förändras inte från kropparnas interaktion med varandra [6] . Kommentatorn noterar i samband med denna formulering att även om den endast betraktar fallet med kroppar som rör sig längs en rät linje, var I. Newton, som hans andra uttalanden i samma bok visar, i sina åsikter inte begränsad till detta specifika fall [6] .

Se även

Anteckningar

↑ Targ S. M. Dynamics // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Långa rader. - S. 616-617. — 707 sid. — 100 000 exemplar.
↑ 1 2 3 Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. - M . : Högre skola, 1995. - S. 280-284. — 416 sid. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Markeev A.P. Teoretisk mekanik. - M . : Chero, 1999. - S. 157-159. — 572 sid.
↑ Zhirnov N. I. Klassisk mekanik. — Serie: lärobok för studerande vid fysik- och matematiska fakulteter vid pedagogiska institut. - M., Upplysning , 1980. - Upplaga 28 000 ex. - Med. 260
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Den klassiska mekanikens grunder. - M .: Higher School, 1999. - S. 221. - ISBN 5-06-003587-5
↑ 1 2 Isaac Newton . Naturfilosofins matematiska principer = Philosophia naturalis principia matematica / Översättning från latin och anteckningar av A. N. Krylov . - M. : Nauka, 1989. - S. 45. - 688 sid. - (Vetenskapens klassiker). - ISBN 5-02-000747-1 .