Sats om systemets kinetiska energi

Satsen om systemets kinetiska energi är en av dynamikens allmänna satser [1] , är en följd av Newtons lagar . Kopplar samman den kinetiska energin i ett mekaniskt system med kraftarbetet som verkar på de kroppar som utgör systemet. Systemet i fråga kan vara vilket mekaniskt system som helst som består av vilka kroppar som helst [2] [3] .

Uttalande av satsen

Den kinetiska energin i ett system är summan av de kinetiska energierna för alla kroppar i systemet. För värdet definierat på detta sätt är påståendet [2] [3] sant :

Teoremet tillåter generalisering till fallet med icke-tröghetsreferensramar . I det här fallet måste de bärbara tröghetskrafternas arbete läggas till arbetet för alla yttre och inre krafter ( tröghetskrafterna Coriolis kan inte producera arbete) [4] .

Bevis för satsen

Betrakta ett system av materialpunkter med massor , hastigheter och kinetiska energier . För en liten förändring i kinetisk energi ( differential ) som inträffar över ett litet tidsintervall , $mi$ $\vec v_i$ $T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}$ $dt,$

dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i }{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.

Med tanke på vad som är accelerationen av den i -te punkten , och är rörelsen av samma tidpunkt , kan det resulterande uttrycket skrivas som: ${\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ ${\vec {a}}_{i}$ ${\vec {v}}_{i}dt$ $d{\vec {s}}_{i}$ $dt$

dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.

Genom att använda Newtons andra lag och beteckna resultanten av alla krafter som verkar på en punkt som , får vi ${\displaystyle F_{i))$

dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},

och då enligt jobbdefinition ${\displaystyle dA_{i))$

dT_{i}=dA_{i}.

Summeringen av alla ekvationer av denna typ, skrivna för var och en av materialpunkterna, leder till en formel för att ändra systemets totala kinetiska energi:

dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.

Denna likhet uttrycker påståendet av satsen om förändringen i systemets kinetiska energi i differentialform.

Efter att ha integrerat båda delarna av den erhållna jämlikheten under ett godtyckligt taget tidsintervall mellan några och , får vi uttrycket för satsen om förändringen i kinetisk energi i integralform: $t_{1}$ $t_{2}$

T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},

var och är värdena för systemets kinetiska energi vid tidpunkten och resp. $T_{1}$ $T_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$

Det bör betonas att här, i motsats till fallen av satsen om förändringen i systemets rörelsemängd och satsen om rörelsen av systemets masscentrum , verkan av inte bara yttre utan också inre krafter beaktas.

Lagen om bevarande av mekanisk energi

Av särskilt intresse är system där potentiella krafter verkar på kroppar [5] . För sådana krafter introduceras begreppet potentiell energi , vars förändring i fallet med en materiell punkt, per definition, uppfyller förhållandet:

W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},

där och är värdena för punktens potentiella energi i initial- respektive sluttillståndet, och är arbetet med den potentiella kraften som utförs när punkten rör sig från initialtillståndet till sluttillståndet. ${\displaystyle W_{1i))$ ${\displaystyle W_{2i))$ $A_{pi}$

Förändringen i systemets potentiella energi erhålls som ett resultat av att summera förändringarna i energierna för alla systemets kroppar:

W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.

Om alla inre och yttre krafter som verkar på systemets kroppar är potentiella [6] , då

\sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).

Genom att ersätta det resulterande uttrycket i ekvationen för kinetisk energisatsen får vi:

T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})

eller vad är detsamma

T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.

Med andra ord visar det sig att för systemets totala mekaniska energi , $T+W$

T+W=const.

Därför kan vi dra slutsatsen:

Detta påstående är innehållet i lagen om bevarande av mekanisk energi , som är en konsekvens av satsen om kinetisk energi och samtidigt ett specialfall av den allmänna fysiska lagen om energibevarande [2] [3] .

Fallet med ett system med idealiska stationära begränsningar

I de fall där ämnet för studien endast är systemets rörelse, och reaktionerna från bindningarna inte är av intresse, använder de formuleringen av teoremet för ett system med idealiska stationära bindningar, som härleds med hänsyn till d' Alembert-Lagrange-principen .

Satsen om förändringen i den kinetiska energin för ett system med idealiska stationära bindningar säger [7] :

Satsen bevisas enligt följande. Genom att ersätta i den allmänna ekvationen för dynamik med , får vi: $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {v}}_{k}dt$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\ vec{v}}_{k}dt

eller

(d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt

Sedan får vi äntligen: $d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}$

dT=d'A^{ae}+d'A^{ai}

De övre ikonerna i dessa uttryck betecknar: - aktiv (det vill säga inte en reaktion av bindningar) kraft, (från engelska external ) och (från engelska internal ) - respektive externa och inre krafter. ${\displaystyle ^{a))$ ${\displaystyle ^{e))$ ${\displaystyle ^{i))$

Se även

Anteckningar

↑ Targ S. M. Dynamics // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Långa rader. — S. 616-617. — 707 sid. — 100 000 exemplar.
↑ 1 2 3 Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. - M . : Högre skola, 1995. - S. 301-323. — 416 sid. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Zhuravlev VF Fundamentals of theoretical mechanics. - M . : Fizmatlit, 2001. - S. 70-71. — 319 sid. — ISBN 5-95052-041-3 .
↑ Zhirnov N. I. Klassisk mekanik. — Serie: lärobok för studerande vid fysik- och matematiska fakulteter vid pedagogiska institut. - M., Upplysning , 1980. - Upplaga 28 000 ex. - Med. 262
↑ Kom ihåg att krafter kallas potential om det arbete som utförs av dem när de flyttar en materiell punkt endast bestäms av punktens initiala och slutliga positioner och inte beror på valet av bana.
↑ Det vill säga, det finns inga dissipativa krafter .
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Den klassiska mekanikens grunder. - M .: Högre skola, 1999. - S. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5