Sekundär differentialkalkyl är en gren av modern matematik som utvidgar den klassiska differentialkalkylen på grenrör till utrymmet för lösningar av icke-linjära partiella differentialekvationer. Krediten för upptäckten av den sekundära differentialkalkylen tillhör professor Alexander Mikhailovich Vinogradov .
Inom matematiken finns det ett samband mellan algebra och geometri, det vill säga för alla algebraiska ekvationer kan du hitta en geometrisk analog. Den geometriska motsvarigheten för icke-linjära differentialekvationer är mycket komplexa, ibland oändliga dimensionella, geometriska objekt med många strukturer ( karaktäristiska koner , L-strålar , etc.); för deras detaljerade studie skapades denna matematiska apparat.
Denna teori arbetar med sekundära analoger av klassisk analys (sekundära vektorfält, sekundära moduler över en sekundär jämn algebra av funktioner, etc.). I denna teori introduceras diffeotoper - geometriska objekt som spelar samma roll i den som algebraiska varianter i teorin om algebraiska ekvationer. De är grenrör av ett speciellt slag, som regel oändligt dimensionella, utrustade med en kontaktstruktur av oändlig ordning. Den sekundära differentialkalkylen är en differentialkalkyl på diffeotoper som tar hänsyn till denna kontaktstruktur. Diffeotopers oändliga dimensionalitet gör det omöjligt att konstruera en differentialkalkyl med standardmetoder. Det är därför tillämpningen av den algebraiska metoden är oundviklig här.
Ett anmärkningsvärt och oväntat faktum som framkom i processen att konstruera den sekundära differentialkalkylen är att dess objekt är kohomologiklasserna för vissa differentialkomplex som naturligt uppstår på diffeotoper.
Baserat på denna teori skapades en syntetisk matematisk teori, kallad diffeotopi (inte att förväxla med omslutande isotopi ). Det är en syntes av två teorier - den primära differentialkalkylen, det vill säga teorin om funktorer för differentialkalkylen över kommutativa algebror, och den sekundära differentialkalkylen. Detta är en ny dynamiskt utvecklande gren av matematiken, som är en märklig och naturlig syntes av många moderna matematiska discipliner, såsom den geometriska teorin för icke-linjära partiella differentialekvationer, kommutativ och homologisk algebra, algebraisk topologi, algebraisk och differentialgeometri, differentialkalkyl i kommutativa algebror och andra. . Faktiska problem med diffeotopi kan delas in i två stora klasser. Den första inkluderar problem relaterade till identifiering och studie av de grundläggande strukturerna för primära och sekundära beräkningar. Den andra klassen inkluderar många tekniska och beräkningsproblem som är förknippade med lösningen av specifika problem med diffeotopiska metoder. Till exempel, problemet med att hitta alla bevarandelagar eller Bäcklund-transformationer för ett givet system av differentialekvationer, vilket är algoritmiskt i termer av sekundärkalkyl, ger ett exempel på det enklaste problemet i denna klass. Faktiska beräkningar med metoderna för sekundär differentialkalkyl visar sig ofta vara så komplexa och tidskrävande att implementeringen blir omöjlig utan korrekt datorstöd. Därför är utvecklingen av lämplig specialiserad programvara för symboliska "sekundära" beräkningar en extremt viktig uppgift.
Denna teori finner redan tillämpningar inom modern fysik, nämligen: den del av modern kvantfältteori som är förknippad med BRST-kvantisering och anti-fältformalism beskrivs naturligt och begreppsmässigt transparent på språket för sekundär differentialkalkyl (den del av fysiken som förknippas med detta är kallas kohomologisk fysik ).