Provvarians

Urvalsvarians i matematisk statistik är en uppskattning av den teoretiska variansen för en fördelning beräknad från urvalsdata. Typer av provavvikelser:

förskjuten;
oförskjutna eller korrigerade

Definitioner

Låt vara ett urval från sannolikhetsfördelningen . Sedan $X_{1},\ldots,X_{n},\ldots$

urvalsvarians är en slumpvariabel

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac { 1}{n}}\summa \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\right)^{2}

där symbolen anger provmedelvärdet ; ${\bar {X}}$

opartisk (korrigerad) varians är en slumpvariabel

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\summa \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ höger)^{2}

Notera

Självklart,

S^{2}={\frac {n}{n-1}}S_{n}^{2}

Egenskaper för provvarianser

Urvalsvariansen är den teoretiska variansen för urvalsfördelningen . Mer exakt, låt vara provfördelningsfunktionen för det givna urvalet. Då är en fast funktion en (icke-slumpmässig) diskret distributionsfunktion . Variansen för denna fördelning är . ${\hat {F}}(x)$ $\omega \i \Omega$ ${\hat {F}}(\omega ,x)$ $S_{n}^{2}(\omega )$

Båda urvalsvarianserna är konsekventa uppskattningar av den teoretiska variansen. Om , då ${\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$

S_{n}^{2}\till ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P))))\;\sigma ^{2}

och

S^{2}\till ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P))))\;\sigma ^{2}

där symbolen " " $\till ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P))))$ anger konvergens i sannolikhet .

Urvalsvariansen är en partisk uppskattning av den teoretiska variansen, medan den korrigerade urvalsvariansen är opartisk:

{\mathbb {E}}\left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}

och

{\mathbb {E}}\left[S^{2}\right]=\sigma ^{2}

Urvalsvariansen för en normalfördelning har en chi-kvadratfördelning . Låt . Sedan $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,2,\ldots$

(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\equiv n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}\ sim \chi ^{2}(n-1)

Provvarians

Definitioner

Notera

Egenskaper för provvarianser

Se även