Härledning av Lorentz-transformationer

Härledning av Lorentz-transformationer kan göras på många sätt, utgående från olika premisser.

Lorentz-transformationer kan erhållas abstrakt, från gruppöverväganden (i detta fall erhålls de med en obestämd parameter ), som en generalisering av galileiska transformationer (vilket gjordes av Poincaré - se nedan ). Men de erhölls först som transformationer med avseende på vilka Maxwells ekvationer $c$ kovariant (som inte ändrar formen för elektrodynamikens och optikens lagar när man flyttar till en annan referensram). Transformationer kan erhållas från antagandet om deras linjäritet och postulatet av samma ljushastighet i alla referensramar (vilket är en förenklad formulering av kravet på kovarians av elektrodynamiken med avseende på de önskade transformationerna, och utvidgningen av principen av jämlikhet mellan tröghetsreferensramar (ISR) - relativitetsprincipen - till elektrodynamik), vilket görs i en speciell relativitetsteori (SRT) (i detta fall visar sig parametern i Lorentz-transformationerna vara bestämd och sammanfaller med ljusets hastighet). $c$

Det bör noteras att om klassen av koordinattransformationer inte är begränsad till linjära, så är Newtons första lag giltig inte bara för Lorentz-transformationer, utan för en bredare klass av fraktionerade linjära transformationer (dock denna bredare klass av transformationer - förutom, naturligtvis, för det speciella fallet med Lorentz-transformationer - håller inte den metriska konstanten).

Algebraisk härledning

Baserat på flera naturliga antaganden (av vilka den huvudsakliga är antagandet om förekomsten av en maximal utbredningshastighet av interaktioner) , kan det visas att när man ändrar IFR, värdet

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

kallas ett intervall . Detta teorem antyder direkt den allmänna formen av Lorentz-transformationer ( se nedan ). Här betraktar vi endast ett specialfall. För tydlighetens skull, när vi övergår till IFR som rör sig med hastighet , väljer vi i det initiala systemet axeln som riktas med , och axlarna och kommer att placeras vinkelrätt mot axeln . De rumsliga axlarna för ISO vid tidpunkten kommer att väljas för att vara samriktade med ISO:s axlar . Med en sådan förvandling $K'$ $v$ $K$ $X$ $v$ $Y$ $Z$ $X$ $K'$ $t=0$ $K$

y'=y,~~z'=z,~~c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{ 2}.

Vi kommer att leta efter linjära Lorentz-transformationer, eftersom för oändligt små transformationer av koordinater, är skillnaderna för nya koordinater linjärt beroende av skillnaderna mellan gamla koordinater, och på grund av homogeniteten i rum och tid kan koefficienterna inte bero på koordinaterna, bara på den relativa orienteringen och hastigheten för IFR.

Att de tvärgående koordinaterna inte kan ändras framgår av överväganden om rymdens isotropi . Faktum är att värdet inte kan ändras och samtidigt inte bero på (förutom under rotation runt , som vi utesluter från beaktande), vilket är lätt att verifiera genom att ersätta sådana linjära transformationer i uttrycket för intervallet. Men om det beror på , så kommer punkten med koordinat att ha en icke-nollkoordinat , vilket motsäger närvaron av symmetri av rotationen av systemet med avseende på rymdens isotropi. Likadant för . $y'$ $x$ $v$ $x$ $(0,x,0,0)$ $y'$ $v$ $z'$

Den mest allmänna formen av sådana transformationer:

y'=y,~~z'=z,~~ct'=ct\,\operatörsnamn {ch} \,\alpha -x\,\operatörsnamn {sh} \,\alpha ,~~x' =x\,\operatörsnamn {ch} \,\alpha -ct\,\operatörsnamn {sh} \,\alpha ,

var finns någon parameter som kallas hastighet . De omvända transformationerna har formen $\alfa$

y=y',~~z=z',~~ct=ct'\,\operatörsnamn {ch} \,\alpha +x'\,\operatörsnamn {sh} \,\alpha ,~~x =x'\,\operatörsnamn {ch} \,\alpha +ct'\,\operatörsnamn {sh} \,\alpha .

Det är klart att en vilopunkt i IFR kommer att behöva röra sig i IFR med en hastighet . Å andra sidan, om punkten är i vila, då $K$ $K'$ $-v$

dx=dx'\,\operatörsnamn {ch} \,\alpha +c\,dt'\,\operatörsnamn {sh} \,\alpha =0,

{\frac {dx'}{c\,dt'}}=-{\frac {v}{c}}=-\operatörsnamn {th} \,\alpha ~\Rightarrow ~\operatörsnamn {th} \,\alpha ={\frac {v}{c}}.

Med hänsyn till att orienteringen av rymden inte bör ändras när man ändrar ISO, får vi det

\operatörsnamn {ch} \,\alpha \geqslant 0.

Därför är ekvationen för hastigheten unikt lösbar:

\operatorname {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},~~\ operatornamn {sh} \,\alpha ={\frac {v}{c{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},

och Lorentz-transformationerna har formen

\ x'=\gamma (x-vt),

\ t'=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2))}x),

\gamma =\operatörsnamn {ch} \,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

Parametern kallas Lorentz-faktorn [1] . $\gamma$

Symmetrigruppen för Maxwells ekvationer

Visuell härledning av Lorentz-transformationerna

Vi accepterar postulaten av SRT , som kokar ner till den utökade relativitetsprincipen, som säger att alla fysikaliska processer förlöper exakt likadant i alla tröghetsreferensramar (principen om ljushastighetens konstanta i SRT, som förfinar den , betyder en utvidgning av relativitetsprincipen till elektrodynamik, tillsammans med ett förtydligande uttalande att det inte finns något grundläggande fysiskt medium (eter), som skulle peka ut ett av referenssystemen i experimentet - det vill säga även om etern existerar, då bör dess närvaro inte bryta mot relativitetsprincipen i praktiken). Dessutom är det användbart att uttryckligen betona att principen om ljushastighetens konstans betyder närvaron av exakt den slutliga hastigheten (från experimentet lika med ljusets hastighet i vakuum), inbäddad i de grundläggande lagarna (ekvationer), samma för alla tröghetsreferensramar, och i varje referensram är ljusets hastighet densamma för alla riktningar av dess utbredning och beror inte på källans hastighet. Principen om konstans för ljusets hastighet utgör det andra postulatet för SRT, som används nedan.

Transformation för tvärgående axlar (punkt 1)

Låt det finnas två oändliga plan vinkelräta mot y -axeln . Avståndet mellan dessa plan bör uppenbarligen inte bero på planens hastighet utmed sig själva, vilket innebär att det inte beror på referensramen som rör sig i förhållande till den andra längs axeln . (I varje sådant system är tiden för passage av en ljusstråle som rör sig längs axeln från ett plan till ett annat densamma enligt SRT-postulaten.) $x$ $y$

Du kan också föreställa dig hur en kropp som rör sig längs en axel flyger in i ett fast hål av samma storlek. Om det inte finns någon jämlikhet , kan kroppen vara större eller mindre än hålet beroende på referenssystem där mätningen utförs. I verkligheten passerar eller passerar kroppen inte genom hålet, oavsett valet av referensram. $x$ $y=y',$

Detsamma gäller naturligtvis för axeln . Om vi för enkelhets skull utesluter det fysiskt ointressanta fallet med rotation med en konstant vinkel för det andra koordinatsystemet i förhållande till det första, får vi: $z$

y=y',z=z'.

Tidsutvidgning (punkt 2)

Låt oss visa att varje process (till exempel förloppet av en klocka) i en referensram som rör sig i förhållande till den fortskrider långsammare än i sin egen referensram (i förhållande till vilken den inte rör sig).

Betrakta en "ljusklocka" som består av en punktkälla och en ljusmottagare på axeln , på avstånd från varandra och som mäter tidsintervallet för passagen av en puls (blixt) av ljus från källan till mottagaren, lika med till . $y$ $L$ $L/c$

Om referensramar rör sig i förhållande till varandra längs axeln , då är avståndet mellan två punkter på axeln , mätt i en ram som är stationär i förhållande till dessa punkter, detsamma som uppmätt i en rörlig referensram, eftersom det finns ingen relativ rörelse av systemen längs axeln. Detta kommer att säkerställa att längdenheterna är konsekventa i systemen. Tidsenheterna kommer också att vara konsekventa, eftersom längdenheterna är konsekventa och ljusets hastighet inte beror på koordinatsystemet. $x$ $L$ $y$ $y$

Således kan samma ljusklocka ställas in i varje referensram.

Låt oss jämföra tidsintervallet för pulspassagen i referensramen där ljusklockan är i vila, och tidsintervallet för samma klocka, mätt med identiska klockor i den rörliga referensramen.

Låt ljusklockan stå i vila i referensramen (vänster diagram i figuren), och referensramen rör sig åt höger längs axeln med en hastighet av . Källan vid tidpunkten för pulsemission är vid referenssystemets utgång A (röd prick i figuren), och mottagaren är vid punkt B (blå) på axeln . I referensramen når den utsända ljuspulsen mottagaren B på axeln i tid . $K$ $K'$ $x$ $V$ $K$ $y$ $K$ $y$ $\Delta t=L/c$

I referensramen sänds en ljuspuls ut från origo i det ögonblick den sammanfaller med systemets origo (punkt A ), och kommer in i mottagaren B efter en tid , som mäts av klockor som rör sig med systemet . Koordinaten för punkt B är förskjutningen som anges på det högra diagrammet i figuren med en streckad linje, lika med , punkt A indikerar platsen från vilken pulsen sänds ut, pulsens bana in visas med en grön linje. $K'$ $K$ $\Delta t'=L'/c$ $K'$ $x'$ $-V\Delta t'$ $K'$

Eftersom ljusets hastighet i varje tröghetsreferensram är densamma (beror inte på källans hastighet och strålningsriktningen), kan källan A vid impulsögonblicket anses vara stationär i referensramen . $K'$

Den väg som färdas av ljuspulsen från A till B i referensramen är lika med hypotenusan i en rätvinklig triangel. Enligt Pythagoras sats $L'$ $K'$

{\displaystyle L'^{2}}=L^{2}+(V\Delta t')^{2},

med hänsyn till att och , finner vi ett uttryck för ${\displaystyle L'}=c\Delta t'$ $L=c\Delta t$ $\Delta t'$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2))))))

Av detta följer att när $\Delta t'>\Delta t$ $V\neq 0.$

Således är tidsintervallet för varje process som inträffar i referensramen , mätt av en klocka i en rörlig referensram , större än tidsintervallet , mätt av samma klocka i sin egen referensram . Spännviddsökningsfaktorn är konstant vid konstant hastighet. $\Delta t'$ $K$ $K'$ $\Delta t$ $K$

Eftersom referensramen rör sig i förhållande till ramen med en hastighet , så säger vi att tiden i den rörliga referensramen ur systemets synvinkel flyter långsamt. Till exempel är laboratorielivslängden för kortlivade partiklar som produceras vid höga hastigheter längre än deras livslängd i deras egen referensram. $K$ $K'$ $-V$ $K$ $K'$ $\Delta t'$ $\Delta t$

Tydligare är tidens avmattning manifesterad i nedgången (tempo) av klockor som rör sig tillsammans med referensramen . Om källan och mottagaren är försedda med speglar som reflekterar ljuspulsen, kan ett intervall av vilken varaktighet som helst mätas med antalet perioder mellan reflektioner. Svängningsfrekvensen hos en sådan ljuspendel kännetecknar tidens hastighet. Perioden för en upprepad process är relaterad till dess frekvens genom jämlikhet . En större period motsvarar en lägre frekvens, och ojämlikheten förvandlas till en ojämlikhet för frekvensen , där är frekvensen för klockans ljuspendel som rör sig tillsammans med systemet , mätt av systemets klocka , är frekvensen för ljuspendel i sin egen referensram (i förhållande till vilken klockan står i vila). En rörlig klocka tickar mindre ofta än en stillastående. $K$ $T$ $\nu ={\frac {1}{T))$ $\Delta t'>\Delta t$ $\nu '<\nu$ $\nu'$ $K$ $K'$ $\nu$ $K$

Eftersom alla tröghetsreferensramar är lika, då, genom att mäta varaktigheten av en impulss passage i timmar som rör sig tillsammans med referensramen , klockan för referensramen , får vi den omvända olikheten för , eftersom i detta fall det är rätt tid. Ur referenssystemets synvinkel går systemets rörliga klocka långsammare än systemets egen klocka . $K'$ $K$ $\Delta t'<\Delta t$ $V\neq 0$ $\Delta t'$ $K$ $K'$ $K$

Relativitet av simultanitet (punkt 3)

Förutom att sakta ner tiden i en rörlig referensram (bromsning av alla klockor i ett rörligt laboratorium jämfört med klockor i ett stationärt laboratorium) visar det sig att tidens ursprung i en rörlig referensram inte heller sammanfaller med det i en stationär, och förskjutningen av detta ursprung är olika vid olika punkter - beror på x . Klockor i sin egen referensram som håller samma tid visar olika led-/fördröjningstider beroende på var de ses från referensramen där den egna referensramen rör sig.

För att förstå själva kärnan av problemet måste man fundera över frågan på ett eller annat sätt, och vad betyder det att klockor på olika platser i rymden som är avlägset från varandra (till exempel i olika städer) kör på samma sätt (synkront), som kan ses i detta, eller hur (med vilken procedur) kan du synkronisera klockor på olika ställen om de inte var synkrona från början.

Redan den enklaste metoden för synkronisering, som består i att alla klockor synkroniseras på ett ställe, och sedan överförs till olika punkter, gör det möjligt att se till att klockor synkroniserade i en referensram kommer att se ut som att visa olika tider från en annan referensram. Faktum är att för de klockor som vi överför till olika punkter längs x -axeln kommer deras hastighet i förhållande till en annan referensram nödvändigtvis att vara annorlunda, så tiden vid olika punkter på x -axeln kommer att skiftas annorlunda.

Detta kunde noggrant kvantifieras och på så sätt erhålla det önskade resultatet. Men detta kan uppnås enklare genom att överväga synkronisering med hjälp av ljussignaler (och relativitetsprincipen säger att varje korrekt synkroniseringsmetod ska ge samma resultat, vilket dock kan verifieras explicit om så önskas).

Så låt oss överväga synkronisering med hjälp av ljussignaler. Denna process kan till exempel bestå i utbyte av ljussignaler mellan två fjärrstyrda kronometrar: om signalerna sänds ut samtidigt kommer samma tid att passera innan en signal tas emot för varje klocka. Men ännu enklare är en något annorlunda (motsvarande denna) metod: du kan göra en ljusblixt exakt i mitten av segmentet som förbinder kronometrarna och hävda att ljuset kommer till båda kronometrarna samtidigt.

I sin egen referensram (där kronometrarna är stationära) är bilden symmetrisk. Men i vilken annan referensram som helst rör sig båda kronometrarna (för visshetens skull kommer vi att anta det till höger), och då kommer ljuset från mitten av segmentet som förbinder dem i det första ögonblicket att ta kortare tid att nå vänster kronometer (som rör sig mot ljuset) än till höger (som ljuspulsen måste hinna med).

Således ser kronometrar som körs synkront i sin egen referensram, enligt klockorna i en annan referensram, asynkrona ut. Händelsernas samtidighet är relativ: händelser som är samtidiga i en referensram är inte samtidiga i en annan.

Enkla geometriska beräkningar gör det möjligt (efter att ha avbildat rörelsen av ljuspulser och kronometrar på xt- planet ) för att få ett uttryck för förskjutningen av tidens ursprung:

-Vx/c^{2}

(För enkelhetens skull har vi här endast betraktat klockor placerade längs x -axeln , men naturligtvis kan allt beräknas för det allmänna fallet).

Genom att sammanföra resultaten av punkterna 2 och 3 erhåller vi alltså för tidskonverteringen

t'={\frac {t-Vx/c^{2}}{{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}}

Denna effekt kan också bevisas genom motsägelse: om den inte existerade, eller om skiftet i ursprunget för tidsreferensen inte uppgick till , så skulle den så kallade tvillingparadoxen existera . $-Vx/c^{2}$

Lorentz längdkontraktion (punkt 4)

Efter att ha beaktat rörelsen av en ljuspuls längs x - axeln (och inte längs y , som det var i punkt 1), och kräva (baserat på postulatet för samma ljushastighet i alla tröghetsreferensramar) att avståndet mellan två punkter ska alltid vara lika med den tid som ljuset går från en punkt till en annan, multiplicerat med ljusets (konstanta) hastighet, kan du få avståndsreduktionsfaktorn längs x , och givet att förskjutningen av ursprung är lika med , kan du få transformationen för x -koordinaten : $-Vt$

x'={\frac {x-Vt}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2))))

Det är ännu lättare nu att förstå vad som uttrycks på detta sätt, att notera att i planet bör rörelsegrafen [2] för ljuspulsen vara rak, lutad 45° (beroende på det faktum att ljusets hastighet alltid är c ), och därmed skalan längs axlar och bör vara densamma, och uttryck i enhetssystemet bör vara symmetriska. $x'$ $x-ct$ $x$ $ct$ $c=1$

Således erhålls Lorentz-transformationerna ganska tydligt för kolinjära rumsaxlar. Naturligtvis är den omvända ordningen av resonemang också möjlig: man kan först få Lorentz-transformationerna på något mer abstrakt sätt, till exempel en av de som nämnts ovan, och sedan få alla effekter som analyserats i stegen i detta visuella bevis som ett enkel formell konsekvens av Lorentz-transformationerna.

Anteckningar

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. — Upplaga 6, korrigerad och kompletterad. - M . : Nauka , 1973. - S. 11-28. - (" Teoretisk fysik ", volym II). Arkiverad 26 juli 2021 på Wayback Machine
↑ Minkowski kallade ett sådant rörelseschema för en världslinje; Men i det här avsnittet kommer vi inte att fördjupa oss i sambandet mellan Lorentz-transformationer och begreppet Minkowski-rum i dess helhet, i första hand för att inte komplicera och avbryta den elementära härledningen, vilket är mer praktiskt att överväga oberoende av eventuella ytterligare specialbegrepp, begränsar oss endast till elementära geometriska och algebraiska begrepp endast i den utsträckning som de är nödvändiga. Faktum är att vi talar om omvandlingen av koordinater i Minkowski-rymden, och i detta stycke, baserat på postulatet om ljusets hastighets konstanthet, förtydligas vissa egenskaper hos detta utrymme, såväl som Lorentz-transformationer, som bekväma transformationer av koordinater i den. Men återigen, för tydlighetens skull, betonar vi att du för själva slutsatsen inte behöver veta något annat än vad som uttryckligen sägs i styckets huvudtext.

Länkar

Boka Relativistic World