Konvex geometri

Konvex geometri är en gren av geometrin som studerar konvexa mängder , främst i det euklidiska rummet . Konvexa mängder uppstår naturligt inom många områden, inklusive beräkningsgeometri , konvex analys , kombinatorisk geometri , funktionell analys , talgeometri , integralgeometri , linjär programmering , sannolikhetsteori .

Termen "konvex geometri" används också inom kombinatorik som namnet på en av de abstrakta modellerna av konvexa uppsättningar, varav en är likvärdig med antimatroider .

Historik

Bidrag till konvex geometri kan spåras i Euklids Principia . Den exakta definitionen av en konvex kurva och yta gavs av Arkimedes i hans avhandling Om sfären och cylindern .

Disciplinen blev en självständig gren av matematiken i slutet av 1800-talet, främst på grund av Hermann Brunns och Hermann Minkowskis arbete för utrymmen av dimensionerna två och tre. En betydande del av deras resultat generaliserades snart till högre dimensionella utrymmen.

Riktningens betydelse för tillämpade problem manifesterade sig i mitten av 1900-talet, då utvecklingen av konvex optimering (konvex programmering ) stötte på en del fakta om konvexa kroppar. Faktum är att ett antal klassiska ojämlikheter och uppskattningar som erhölls i början av 1900-talet för godtyckliga konvexa kroppar inte beror mycket (eller inte alls) på rummets dimension, detta gjorde det möjligt att undvika "förbannelsen" av dimension" - ett traditionellt problem inom tillämpad matematik, när problemets komplexitet växer katastrofalt med en ökning av antalet variabler [1] .

Den första heltäckande undersökningen av konvex geometri i den euklidiska rymden publicerades 1934 av Tommy Bonnesen och Werner Fenchel [2] . 1993, under redaktion av Gruber och Wils ( tyska: Jörg Wills ), publicerades en tvådelad "Handbok för konvex geometri", inklusive resultat som erhölls under 1900-talet [3] .   

Anteckningar

  1. ↑ V. Yu. Protasov, Konvex geometri: från Minkowskis verk till moderna optimeringsproblem. Summer School "Modern Mathematics", Dubna, 2011. [1] Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
  2. ↑ Bonnesen, fänkål, 2002 .
  3. ↑ Gruber, Wils, 1993 .

Länkar