Viskositetslösning

En viskös lösning är en viss typ av svag lösning på en partiell differentialekvation , eller snarare en degenererad elliptisk ekvation.

Definitioner

Degenererad elliptisk ekvation

Partiell differentialekvation

F(x,u,Du,D^{2}u)=0

ges i domänen , är degenererad elliptisk om för två symmetriska matriser och sådan att deras skillnad är positiv bestämd , och alla värden på , och olikheten $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $X$ $Y$ $YX$ $x\in \Omega$ $u\in \mathbb {R}$ $p\in \mathbb {R} ^{n}$

F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).

Exempel

Laplace ekvation $-\Delta u=0$ .
Vilken första ordningens ekvation som helst.

Viskös lösning

En övre semikontinuerlig funktion som definieras i kallas en viskositetssublösning av denna ekvation om följande olikhet gäller för någon punkt och någon jämn funktion som i någon grannskap av : $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \geqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.

På liknande sätt kallas en lägre halvkontinuerlig funktion definierad i en viskositetslösning till denna ekvation om, för någon punkt och någon jämn funktion så att och i något område , följande olikhet gäller : $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \leqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.

En kontinuerlig funktion är en viskositetslösning av en degenererad elliptisk ekvation om det är en sublösning och en överlösning samtidigt. $u$

Historik

Termen dyker först upp i arbetet av Crandall och Lyons 1983 [1] för lösningar av Hamilton-Jacobis ekvation . Definitionen gavs faktiskt av Evans tidigare 1980. [2] Definitionen förfinades i det gemensamma arbetet för alla tre. [3]

Länkar

↑ Crandall, Michael G. & Lions, Pierre-Louis (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations , Transactions of the American Mathematical Society vol 277 (1): 1–42, ISSN 0002-9947 , DOI 10.299307/
↑ Evans, Lawrence C. (1980), Om att lösa vissa icke-linjära partiella differentialekvationer med accretive operator methods , Israel Journal of Mathematics T. 36 (3): 225–247, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF047277
↑ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C. & Lions, Pierre-Louis (1984), Vissa egenskaper hos viskositetslösningar av Hamilton-Jacobis ekvationer , Transactions of the American Mathematical Society vol. 282 (2): 487–502, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307 /1999247

Litteratur

T.A. Belkina, Yu.M. Kabanov. Viskositetslösningar av integro-differentialekvationer för sannolikheten för icke-ruin // TVP. - 2015. - T. 60 , nr 4 . — S. 802–810 . doi : 10.4213 / tvp5036 . (ryska)