Harmonisk progression

I matematik är en harmonisk progression (eller harmonisk följd ) en progression som bildas av ömsesidigheten i en aritmetisk progression .

En ekvivalent definition är en oändlig sekvens av formen

${\frac {1}{a)),\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{ a+3d}}\ ,\cdots ,$

där a inte är lika med noll och − a / d inte är ett naturligt tal eller en ändlig följd av formen

${\frac {1}{a)),\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{ a+3d))\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd)),$

där a ≠ 0, k är ett naturligt tal − a / d är inte ett naturligt tal eller större än k .

Exempel

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6
12, 6, 4, 3, , 2, … , , … ${\tfrac {12}{5}}$ ${\tfrac {12}{n))$
30, −30, −10, −6, − , … , ${\tfrac {30}{7}}$ ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2n}{3))))$
10, 30, -30, -10, -6, - , … , ${\tfrac {30}{7}}$ ${\tfrac {10}{1-{\tfrac {2(n-1)}{3))))$

Summan av en harmonisk progression

Oändliga harmoniska progressioner är inte summerbara (i betydelsen en oändlig summa).

För en harmonisk progression är det omöjligt för olika bråkenheter (förutom fall med \ u003d 1 och k \u003d 0) att ha en summa lika med ett heltal . Anledningen är att minst en nämnare av progressionen kommer att vara delbar med ett naturligt tal som inte är delbart med någon annan nämnare. [ett]

Anteckningar

↑ Erdős, P. (1932), Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása , Mat. Fiz. Lapok T. 39: 17–24 , < https://www.renyi.hu/~p_erdos/1932-02.pdf > Arkiverad 6 maj 2021 på Wayback Machine . Citerat från Graham, Ronald L. (2013), Paul Erdős and Egyptian fraktioner , Erdős centennial , vol. 25, Bolyai Soc. Matematik. Stud., Janos Bolyai Math. Soc., Budapest, sid. 289–309, ISBN 978-3-642-39285-6 , DOI 10.1007/978-3-642-39286-3_9