Geodetiskt flöde

Ett geodetiskt flöde på ett grenrör är ett flöde (eller, med andra ord, en enparameters grupp av diffeomorfismer ) på en tangentbunt vars banor definieras enligt följande: varje vektor rör sig framåt längs den geodetiska tangenten till den i tid medan den förblir tangent. till denna geodetiska . $M$ $TM$ $v$ $t$ $t$

I en viss mening generaliserar ett sådant flöde rörelse med konstant hastighet i det euklidiska rummet . Det är också värt att betona att det geodetiska flödet, trots namnet, är ett flöde i betydelsen dynamiska system, definierat exakt på tangentknippet och inte på själva grenröret . $\mathbb {R} ^{n}$ $TM$ $M$

Man betraktar ofta ett geodetiskt flöde på utrymmet av enhetstangensvektorer (eftersom längden på en vektor bevaras under ett geodesiskt flöde). $T_1M$

Den geodetiska flödesekvationen i ett Riemannsk grenrör kan ses som en ekvation av Hamiltonsk mekanik vid noll potentiell energi.

Exempel

Som nämnts ovan, för en standard euklidisk metrik, definierar det geodetiska flödet rörelse med konstant hastighet: ${{\mathbb {R}}}^{n}$

\Phi^t({X},{V})=( {X}+{V} t, {V}).

Banorna för det geodetiska flödet på Lobachevsky-planet tenderar att vara absoluta både framåt och bakåt.
Det geodetiska flödet på en mångfald av negativ krökning visar sig vara ett Anosov-flöde : dess dynamik är kaotisk. Ett speciellt fall av detta är flödet på en Riemann-yta av släktet , försedd med Poincaré-metriken . $g>1$

Se även

Geodetisk
Fermats princip
Oricykliskt flöde

Litteratur

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Modern geometri, v.2. Förgreningsrörens geometri. M.: Redaktionell URSS, 1998.