Hadwigers gissning (kombinatorisk geometri)

Hadwiger-hypotesen (kombinatorisk geometri) är en hypotes inom kombinatorisk geometri som säger att varje konvex kropp i -dimensionellt euklidiskt utrymme kan täckas av -mindre kroppar homotetiska till den täckta kroppen [1] , och att parallellepipederna är de enda kropparna som kan täckas. endast av -mindre homotetiska kroppar täckta kroppskroppar. Giltigheten av denna hypotes är okänd för . $n$ $2^{n}$ $2^{n}$ $n\geqslant 3$

Historik

Hypotesen lades fram av Hugo Hadwiger 1957 [2 ] A.Yu. Levin och Yu.I. Petunin bevisade att ojämlikheten är sann för alla dimensionella centralsymmetriska konvexa kroppar . [3] 1963 fick Rogers uppskattningen för centralt symmetriska kroppar [4] $n$ ${\displaystyle N\leqslant (n+1)^{n))$ $N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$

Formulering i termer av belysningsproblemet

Det kan visas att det minsta antalet kroppar som är homotetiska mot originalet som krävs för att täcka en dimensionell konvex kropp är lika med det minsta antalet riktningar som är tillräckligt för att fullständigt belysa denna kropp. [5] $n$

Anteckningar

↑ Boltyansky, 1965 , sid. 47.
↑ Hadwiger H. Ungelöste Probleme, nr 20, Elem. der Math. 12 (1957), 121
↑ Boltyansky, 1965 , sid. 48.
↑ Boltyansky, 1965 , sid. 49.
↑ Boltyansky, 1965 , sid. 57.

Litteratur

V.G. Boltyansky , I.Ts. Gohberg . Kombinatorisk geometris satser och problem . — M .: Nauka, 1965. — 107 sid.