Anosov diffeomorfism

Anosov- diffeomorfismen är en hyperbolisk diffeomorfism på hela mångfalden , en kartläggning med stabil dynamik med avseende på små störningar. Introducerad i teorin om dynamiska system av Dmitry Anosov . $f\kolon M\högerpil M$ $M$

Hyperbolicitet på ett grenrör innebär att det sker en nedbrytning av tangentbunten till en direkt summa av två kontinuerliga subbuntar och , som är invarianta under dynamik, och dynamiken expanderar och komprimeras exponentiellt: $M$ $TM$ ${\displaystyle E^{u))$ ${\displaystyle E^{s))$ ${\displaystyle E^{u))$ ${\displaystyle E^{s))$

\|f^{n}(v)\|\leqslant c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \i E^{s}

\|f^{n}(v)\|\geqslant c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \in E^{u}

var och är konstanter. $c_{1},c_{2}>0$ $\mu >1>\lambda >0$

Anosov-diffeomorfismer är strukturellt stabila : för alla Anosov-diffeomorfismer finns det ett sådant område inom klassdiffeomorfism , varifrån varje diffeomorfism är konjugerad till någon homeomorfism :. Med andra ord, dynamiken i en liten störning skiljer sig från sig själv endast genom en (kontinuerlig) förändring av koordinater. $f$ $C^1$ $g$ $f$ $h$ $f\circ h=h\circ g$ $f$ $f$

Sträckdelen av definitionen kan skrivas om som omvänd tidskomprimering:

\|f^{-n}(v)\|\leqslant c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\ ,v\in E^{u}

Det mest kända exemplet på en Anosov-diffeomorfism är verkan av en kartläggning på en tvådimensionell torus . Mer generellt: om matrisen inte har egenvärden som är lika i absolut värde som ett, kommer nedgången av A:s verkan till torus (väldefinierad, eftersom den bevarar ) att vara en Anosov-diffeomorfism. $\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2))$ $A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $A$ $\mathbb{Z } ^{n}$

Litteratur

V. I. Arnold . Ytterligare kapitel i teorin om vanliga differentialekvationer. — M .: Nauka, 1978.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system med en genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 sid. — ISBN 5-94057-063-1 .