Bevis på irrationaliteten hos t.ex

Siffran e upptäcktes av Jacob Bernoulli 1683. Mer än ett halvt sekel senare bevisade Euler , som var elev till Jakobs yngre bror Johann , att e är irrationellt , det vill säga det kan inte uttryckas som ett förhållande mellan två heltal.

Eulers bevis

Euler bevisade först irrationaliteten hos e 1737, själva beviset publicerades sju år senare [1] [2] [3] . Han hittade en representation av e som en fortsatt bråkdel

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].

Eftersom denna fortsatta bråkdel är oändlig och den fortsatta bråkdelen av rationella tal är finit, så är e irrationell. Korta bevis på likheten ovan har hittats [4] [5] . Eftersom den fortsatta bråkdelen e inte är periodisk bevisar detta att e inte kan vara en rot av ett kvadratiskt polynom med rationella koefficienter, vilket innebär att e 2 också är irrationell.

Fourierbevis

Det mest kända beviset är Fourierbeviset , som är konstruerat genom motsägelse [6] och är baserat på representationen av e av en oändlig serie

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\cdot

Antag att e är ett rationellt tal av formen a/b , där a och b är heltal. Talet b kan inte vara lika med 1 eftersom e inte är ett heltal. Från den oändliga serien ovan kan det visas att e är strikt mellan 2 och 3:

2=1+{\tfrac {1}{1!}}<e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!)}}+{\ tfrac {1}{3!}}+\cdots <1+\left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac { 1 {2^{3}}}+\cdots \right)=3.

Låt oss definiera ett nummer

x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!)}}\right).

Låt oss visa att x är ett heltal. För att göra detta, ersätt e =abin i denna jämlikhet

x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!)}}\right)=a ( b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.

Den första termen är ett heltal, och varje bråkdel i summan är också ett heltal, eftersom n ≤ b för varje tal under summatecknet. Därför är x ett heltal.

Låt oss nu bevisa att 0 < x < 1 . För att bevisa att x > 0 ersätter vi serierepresentationen av e i definitionen av x

x=b!\left(\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}-\summa _{n=0}^{b}{\ frac {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!)}}>0,

eftersom alla termer i summan är strikt positiva.

Låt oss nu bevisa att x < 1. För alla termer med n ≥ b + 1 har vi den övre skattningen

{\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(nb))))\leq {\frac {1 }{(b+1)^{nb}}}.

Denna olikhet är strikt för alla n ≥ b + 2. Genom att ändra summeringsindexet till k = n – b och använda formeln för den oändliga geometriska serien får vi

x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!)}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{ \ frac {1}{(b+1)^{nb}}}=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}= { \frac {1}{b+1}}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1))))\right)={\frac {1}{b } <1.

Eftersom det inte finns något heltal x strikt mellan 0 och 1, har vi kommit fram till en motsägelse, därför måste e vara irrationell. QED

Andra bevis

Från Fouriers bevis kan ett annat bevis erhållas [7] genom att notera det

(b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)))+\cdots <1+ {\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)))+\cdots =1+x,

vilket motsvarar att säga att bx < 1. Det är naturligtvis omöjligt, eftersom b och x är naturliga tal.

Ett annat bevis [8] [9] kan erhållas från jämlikheten

{\frac {1}{e}}=e^{-1}=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n! }}\cdot

Låt oss definiera det som: ${\displaystyle s_{n))$

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.

Sedan

e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!)}}- \ summa _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}},

varifrån det följer

0<(2n-1)!\left(e^{-1}-s_{2n-1}\right)<{\frac {1}{2n))\leq {\frac {1}{ 2}}

för vilken helhet som helst $n\geq 2.$

Observera att det alltid är ett heltal. Antag att en rationell form , där coprimtal och kan väljas så att det blir ett heltal, till exempel tar För en sådan skillnad mellan och kommer att vara ett heltal. Men på grund av olikheten ovan måste detta heltal vara mindre än 1/2, vilket är omöjligt. En motsägelse erhålls, därför irrationell, och därmed också irrationell. $(2n-1)!s_{2n-1}$ ${\displaystyle e^{-1))$ $e^{-1}={\tfrac {p}{q))$ $p,q$ $q\neq 0.$ $n$ ${\displaystyle (2n-1)!e^{-1))$ $n\geq {\tfrac {q+1}{2)).$ $n$ ${\displaystyle (2n-1)!e^{-1))$ $(2n-1)!s_{2n-1}$ ${\displaystyle e^{-1))$ $e$

Generaliseringar

År 1840 publicerade Liouville ett bevis för irrationaliteten hos e 2 [10] , vilket följde av beviset att e 2 inte kan vara en rot av ett andragradspolynom med rationella koefficienter [11] . Därav följer att e 4 också är irrationell. Liouvilles bevis liknar Fouriers bevis. År 1891 fann Hurwitz , med hjälp av liknande idéer, att e inte kan vara en rot av ett tredjegradspolynom med rationella koefficienter [12] , och i synnerhet att e 3 är irrationell.

Mer generellt är e q irrationell för alla icke-nollrationella q [13] .

Se även

Egenskaper för exponentialfunktionen
transcendentalt tal
Lindemann-Weierstrass teorem

Anteckningar

↑ Euler, Leonhard (1744). “De fractionibus continuis dissertatio” [En avhandling om fortsatta fraktioner] (PDF) . Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 9 :98-137. Arkiverad (PDF) från originalet 2011-05-20 . Hämtad 2021-02-14 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Euler, Leonhard (1985). "En uppsats om fortsatta bråkdelar" . Matematisk systemteori . 18 :295-398. doi : 10.1007/ bf01699475 . HDL : 1811/32133 . Arkiverad från originalet 2017-09-10 . Hämtad 2021-02-14 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
↑ Sandifer, C. Edward. Kapitel 32: Vem bevisade att e är irrationellt? // Hur Euler gjorde det. - Mathematical Association of America , 2007. - S. 185-190. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Ett kort bevis på den enkla fortsatta bråkexpansionen av e . Hämtad 14 februari 2021. Arkiverad från originalet 25 januari 2021. (obestämd)
↑ Cohn, Henry (2006). "Ett kort bevis på den enkla fortsatta bråkexpansionen av e " . American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America . 113 (1): 57-62. arXiv : math/0601660 . DOI : 10.2307/27641837 . JSTOR 27641837 .
↑ de Stainville, Janot. Melanges d'Analyse Algebrique et de Géométrie. - Veuve Courcier, 1815. - S. 340-341.
↑ MacDivitt, ARG & Yanagisawa, Yukio (1987), Ett elementärt bevis på att e är irrationell , The Mathematical Gazette (London: Mathematical Association ). — T. 71 (457): 217 , DOI 10.2307/3616765
↑ Penesi, LL (1953). "Elementärt bevis på att e är irrationellt". American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America . 60 (7): 474. doi : 10.2307/ 2308411 . JSTOR 2308411 .
↑ Apostol, T. (1974). Matematisk analys (2:a upplagan, Addison-Wesley-serien i matematik). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
↑ Liouville, Joseph (1840). "Sur l'irrationalité du nombre e = 2.718...". Journal de Mathematiques Pures et Appliques . 1 [ fr. ]. 5 :192.
↑ Liouville, Joseph (1840). "Tillägg à la note sur l'irrationnalité du nombre e ". Journal de Mathematiques Pures et Appliques . 1 [ fr. ]. 5 : 193-194.
↑ Hurwitz, Adolf. Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e // Mathematische Werke: [ Tyska. ] . - Basel: Birkhäuser , 1933. - Vol. 2. - S. 129-133.
↑ Aigner, Martin & Ziegler, Günter M. (1998),Bevis från THE BOOK (4:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , sid. 27–36, ISBN 978-3-642-00855-9 , DOI 10.1007/978-3-642-00856-6 .