Jordanov totient

Jordan-toient eller Jordan-funktion [1] är antalet - tuplar av naturliga tal mindre än eller lika med , som bildar tillsammans med en uppsättning coprime (tillsammans) tal. Funktionen är en generalisering av Euler-funktionen , som är lika med . Funktionen är uppkallad efter den franske matematikern Jordan . $k$ $n$ $n$ $J_{1}$

Definition

Jordan-funktionen är multiplikativ och kan beräknas från formeln

J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k))}\right)\,

, där går genom primtalsdivisorerna för .

sid

n

Egenskaper

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,$ ,

som kan skrivas på Dirichlet-faltningsspråket som [2]

J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,

, och genom Möbius inversioner som

{\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k))

. Eftersom Dirichlet-genereringsfunktionen är , och Dirichlet-genereringsfunktionen är , blir serien för

\mu

1/\zeta(s)

n^{k}

\zeta (sk)

{\displaystyle J_{k))

\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)} }

Genomsnittlig ordning förlika $J_{k}(n)$

{\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)))

Dedekind psi-funktionen är lika med

\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)))

och genom att undersöka definitionen (observera att varje faktor i produkten av primtal är ett cirkulärt polynom ) kan det visas att aritmetiska funktioner definierade som eller är heltalsmultiplikativa funktioner. ${\displaystyle p_{-k))$ ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)))$ ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))$

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_ {r+s}(n)$ . [3] [4]

Ordning av matrisgrupper

Den fullständiga linjära gruppen av matriser av ordning över har ordning [5] $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatörsnamn {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^ {m}J_{k}(n).

Den speciella linjära gruppen av ordning över har ordning $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatörsnamn {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2))\prod _{k=2}^ {m}J_{k}(n).

Den symplektiska gruppen av matriser av ordning över har ordning $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatörsnamn {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}( n).

De två första formlerna upptäcktes av Jordan.

Exempel

Listor i OEIS J 2 i A007434 , J 3 i A059376 , J 4 i A059377 , J 5 i A059378 , J 6 till J 10 i listor A069091 - A069095 .

Multiplikativa funktioner definierade av förhållandet J2 (n)/J1 ( n) i A001615 , J3 (n)/J1 ( n) i A160889 , J4 (n)/J1 ( n ) i A160891 , J5 (n)/J1 (n) i A160893 , J6 (n)/J1 ( n) i A160895 , J7 (n)/J1 ( n) i A160897 , J8 (n)/J1 ( n ) ) i A160908 , J9 (n)/J1 ( n) i A160953 , J10 (n)/J1 ( n) i A160957 , J11 (n)/J1 ( n) i A160960 .

Exempel på J2k (n)/ Jk (n)-förhållanden: J4 ( n)/J2 ( n) i A065958 , J6 (n)/J3 ( n) i A065959 och J8 (n)/ J 4 (n) i A065960 .

Anteckningar

↑ Det finns andra Jordan-funktioner. Så, Merzlyakov skriver: " Sats . Det finns en "Jordan-funktion" med följande egenskap: varje finit grupp G av innehåller en abelsk normal undergrupp A med index . $J:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $GL_{n}(\mathbb {C} )$ $\leqslant L(n)$
↑ Sandor, Crstici, 2004 , sid. 106.
↑ Holden, Orrison, Varble .
↑ Gegenbauers formel
↑ Andrica, Piticari, 2004 .

Litteratur

Dickson LE History of the Theory of Numbers , vol. I. - Chelsea Publishing , 1971. - P. 147. - ISBN 0-8284-0086-5 .
M. Ram Murty. Problem i analytisk talteori. - Springer-Verlag , 2001. - T. 206. - S. 11. - ( Graduate Texts in Mathematics ). - ISBN 0-387-95143-1 .
Jozsef Sandor, Borislav Crstici. Handbok i talteori II. - Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. - S. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7 .
Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Ännu en generalisering av Eulers totientfunktion . Arkiverad från originalet den 5 mars 2016.
Dorin Andrica, Mihai Piticari. Om några förlängningar av Jordans aritmetiska funktioner // Acta universitatis Apulensis. - 2004. - Nr 7 .

Länkar

Merzlyakov Yu.I. rationella grupper. - Moskva: "Nauka", 1980. - (Modern algebra).

Euler funktion
Euler funktion $\phi(n)$ Jordan funktion $J_{k}(n)$ Carmichael funktion $\lambda (n)$ icke-totient nummer Non-cotient number High-Tient nummer Högt kvottal Något totient nummer