Dedekind psi-funktion

Dedekind psi-funktionen är en multiplikativ funktion definierad på positiva heltal som

\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),

där produkten tas över alla primtal p som delar n (enligt konvention är ψ(1) den tomma produkten av , och har därför värdet 1). Funktionen föreslogs av Richard Dedekind i förhållande till modulära funktioner .

Värdet på funktionen ψ( n ) för de första heltal n :

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24... (sekvens A001615 i OEIS ).

Värdet på funktionen ψ( n ) är större än n för alla n större än 1 och även för alla n större än 2. Om n är kvadratfritt , då är ψ( n ) = σ( n ) .

Funktionen ψ kan definieras genom att sätta p för potenser av ett primtal och sedan utöka denna definition till alla heltal enligt multiplikativitet. Detta leder till ett bevis på den genererande funktionen i termer av Riemann zeta-funktionen , vilket är ${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1))$

\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s))).

Detta är också en konsekvens av att vi kan skriva det som ett Dirichlet-veck . $\psi =\mathrm {Id} *|\mu |$

Höga order

Generalisering till höga order via Jordan Totient

\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))

nära Dirichlet

{\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (s)\zeta (sk)} {\zeta (2s))))

Det är också Dirichlet-konvolutionen av krafter och kvadrater av Möbius-funktionen ,

\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)

Om en

\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots

är den karakteristiska funktionen av kvadrater, leder en annan Dirichlet-faltning till en generaliserad σ-funktion ,

\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)

Anteckningar

Litteratur

Goro Shimura . Introduktion till aritmetisk teori för automorfa funktioner. - Princeton, 1971. - S. 25, ekvation (1).
Carella NA Kvadratfria heltal och extrema värden för vissa aritmetiska funktioner. — 2010.
Richard J. Mathar. Undersökning av Dirichlet-serien av multiplikativa aritmetiska funktioner. — 2011. Avsnitt 3.13.2
A065958 är ψ 2 , A065959 är ψ 3 , och A065960 är ψ 4

Länkar

Weisstein, Eric W. Dedekind Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .