Napoleons uppgift

Napoleonproblemet är det berömda kompasskonstruktionsproblemet . I denna uppgift ges en cirkel och dess centrum. Problemet är att dela cirkeln i fyra lika stora bågar med bara en kompass . Napoleon var en berömd matematiker, men det är inte känt om han uppfann eller löste detta problem. Napoleons vän, den italienske matematikern Lorenzo Mascheroni , kom på en begränsning för att endast använda en kompass (inte använda en linjal) i geometriska konstruktioner. Men i själva verket är problemet ovan enklare än det sanna Napoleonproblemet att hitta mitten av en cirkel med bara en kompass. Nedan finns lösningen på båda problemen och bevisen ges.

Georg Mohrs bok "Euclides Danicus" från 1672 förutsåg Mascheronis idé, men upptäcktes inte förrän 1928.

Hitta mitten av en given cirkel

Byggnad

Låt en cirkel C ges , vars centrum ska hittas. Ta valfri punkt A på C .

Cirkel C 1 centrerad vid A (av vilken radie som helst, se notering nedan) skär C i punkterna B och B' .

Två cirklar C 2 med centrum B och B' och radier AB skär varandra i punkt C .

Cirkel C 3 med centrum i punkt C och radie AC skär C 1 i punkterna D och D' .

Två cirklar C 4 centrerade i punkterna D och D' och med samma radie AD skär varandra i punkterna A och O , den önskade cirkelns C .

Obs: För att konstruktionen ska fungera måste radien på cirkeln C 1 varken vara för liten eller för stor. Mer exakt bör denna radie vara någonstans mellan halva radien av cirkel C och dess diameter. Om radien är större än diametern C kommer C 1 inte att skära C . Om radien C 1 är mindre än halva radien av cirkeln C , kommer punkten C att ligga mellan A och O och C 3 kommer inte att skära med C .

Bevis

Tanken med konstruktion är att hitta längden b²/a med en kompass, när längderna på a och b är kända och samtidigt a/2 ≤ b ≤ 2a.

I figuren till höger ritas en cirkel med radien a med centrum i punkten O . En punkt A väljs på den och punkterna B och B' plottas , belägna på ett avstånd b från A. Punkt A' ligger mittemot A , men det är inte nödvändigt att bygga den (en linjal skulle behövas här). På liknande sätt, låt oss beteckna en (imaginär) punkt H i skärningspunkten mellan AA' och BB' . Punkt C kan hittas från B och B' genom att rita cirklar med radien b .

Triangeln ABA' har en rät vinkel vid punkt B och linjesegmentet BH är vinkelrät mot AA' , så:

{\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}

Var får vi tag i och . $AH={\frac {b^{2}}{2a}}$ $AC=b^{2}/a$

I byggnaden ovan sker denna konfiguration två gånger:

Punkterna A , B och B' ligger på cirkel C med radien a
ett=r; AB , AB' , BC och B'C är lika med b
ett= R, så ; $AC={\frac {R^{2}}{r}}$
punkterna A , D och D' ligger på en cirkel med centrum i punkt C och radie ; DA , D'A , DO och D'O är b $a_{2}={\frac {R^{2}}{r}}$
2= R , alltså . $AO={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r$

Så O är mitten av cirkel C.

Uppdelning av en given cirkel i fyra lika stora bågar

Låt oss rita en båge centrerad vid valfri punkt X på cirkeln C som går genom mitten O och skär C i punkterna V och Y . Låt oss göra samma sak med punkten Y , vi får skärningspunkterna för cirkeln C i punkterna X och Z . Observera att segmenten OV, OX, OY, OZ, VX, XY och YZ har samma längd, lika med radien på cirkeln C .

Låt oss nu rita en båge centrerad vid V som går genom Y och en båge centrerad vid Z som går genom X , och markera skärningspunkten för dessa bågar med ett T. Observera att avstånden VY och XZ är lika med radien för cirkeln C . $\sqrt{3}$

Låt oss rita en båge med en radie lika med OT ( cirkelns radie C ) och mittpunkten i punkten Z , den kommer att skära cirkeln C i punkterna U och W. UVWZ är en kvadrat, och därför är cirkelbågarna C UV, VW, WZ och ZU lika med varandra och är fjärdedelar av cirkeln C . ${\sqrt {2}}$

Se även

Litteratur

JAG OCH. Perelman. Underhållande matematik. - Moskva, Leningrad: State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1950. (Indelning av en cirkel i fyra delar)
Båda uppgifterna är givna
Napoleon och hans uppgift (Dela en cirkel i fyra delar)