Lika temperament

Lika temperament , lika temperament ( tyska gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung ) är en tempererad musikskala där varje oktav är indelad i matematiskt lika intervall , i det mest typiska fallet, i tolv halvtoner , som var och en är lika . En sådan struktur dominerar europeisk professionell musik (akademisk och pop) från 1700-talet till våra dagar. En viktig fördel med lika temperament är förmågan att transponera en bit till ett godtyckligt intervall. ${\sqrt[ {12}]{2}}$

Historisk översikt

Systemet med lika temperament uppstod i samband med sökande av olika specialiteter efter det "ideala" systemet för musik. Historiskt sett tillät de tidigare ren- och mellantonsskalorna inte transponering och modulering till avlägsna tonarter utan att skarp akustisk dissonans uppstod i konsonantharmonier - främst i treklanger och deras inversioner.

Den omedelbara föregångaren till den lika temperamentsskalan i Europa var den "vältemperade" skalan - en familj av ojämna temperament som gjorde det möjligt att mer eller mindre framgångsrikt (med olika grader av "akustisk renhet") spela i vilken som helst av tonarna. En av teoretiker och propagandister [1] av ett sådant system var Andreas Werkmeister . Många forskare delar uppfattningen att det vältempererade klaveret av Johann Sebastian Bach , som är väl bekant med Werkmeisters verk, skrevs för instrument med just ett sådant ojämnt temperament [2] .

Det är omöjligt att med säkerhet ange vem som exakt "uppfann" lika temperament. Bland dess första teoretiker är Heinrich Grammateus (1518), Vincenzo Galilei (1581) och Maren Mersenne . Simon Stevin gav i sitt arbete "On the Theory of Singing Art" (ca 1585) en matematiskt korrekt beräkning av lika temperament. Skrivet på Stevins modersmål (flamländska), fick hans arbete inget gensvar; postum berömmelse kom till Stevin 300 år senare, 1884, när den publicerades och sedan översattes till andra språk.

En av de första författarna som gav en teoretisk motivering för 12-stegs lika temperament var den kinesiske prinsen Zhu Zaiyu (朱載堉), i en avhandling från 1584 [3] . Vilken historisk betydelse prinsens beräkningar hade för den västerländska musikteoretiska traditionen är dock okänt.

Den nya ordningen hade sina motståndare (som Giuseppe Tartini ) och sina propagandister (som Johann Georg Neidhardt ). Systemet med lika temperament orsakade avvikelser från den akustiska ("naturliga") renheten hos konsonanser, som ett resultat av att små slag dök upp i dem. Enligt vissa var dessa kränkningar av renhet en mindre förlust, särskilt med tanke på de nya möjligheter som en sådan stämning gav till utvecklingen av tonal harmoni . Andra såg förlusten av "naturlig" renhet som ett angrepp på musikens "renhet".

Inkonsekvensen av estetiska kriterier (naturlig renhet kontra moduleringsfrihet och obegränsad transponering ) återspeglades i musikteoretikers skrifter. Så, Werkmeister hävdade att i den nya stämningen får alla ackord (främst treklanger) monoton symmetri, medan i "bra" stämningar hade varje ackord sitt eget unika (akustiska) ljud. Å andra sidan försvarade han i sin senare avhandling Musikalische Paradoxal-Discourse (1707), i en polemik med Neidhardt, sin prioritet i "uppfinnandet" av lika temperament. Redan på 1700-talet rådde idén om fri utveckling av tonalitet över idén om naturlig "akustisk" renhet. Inom akademisk musik och popmusik har lika temperament fått världsomspännande erkännande och har blivit de facto standarden för musiksystemet.

Beräkning av ljudens frekvenser

Du kan matematiskt beräkna frekvenserna för hela skalan med hjälp av formeln:

f(i)=f_{0}\cdot 2^{{i/12}}

där f 0 är stämgaffelns frekvens (till exempel La 440 Hz), och i är antalet halvtoner i intervallet från det studerade ljudet till standarden f 0 .

Sekvensen av frekvenser som beräknas på detta sätt bildar en geometrisk progression :

till exempel kan du beräkna ljudfrekvensen per ton (2 halvtoner ) lägre från stämgaffeln La-notes sol :

i=-2

f(-2)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{-2/12}}\ca {391 995}\,{\mathrm {Hz}}

om du behöver beräkna frekvensen för tonen Sol, men en oktav (12 halvtoner ) högre:

i=12-2=10

f(10)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{10/12}}\approx {783 991}\,{\mathrm {Hz}}

Frekvenserna för de två resulterande G-noterna skiljer sig med en faktor två, vilket resulterar i en ren oktav.

Jämförelse med naturlig inställning

En skala för lika temperament kan visas som intervallvärden i cent :

Tona	C1 _	C♯ _	D	D♯	E	F	F♯ _	G	G♯ _	A	A ♯	B	C2 _
Cent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Följande tabell visar de kvantitativa skillnaderna mellan lika temperamentintervall och naturliga intervall:

Intervall	Lika tempererade intervaller	naturliga intervaller	Cent skillnad
Prima	${\sqrt[{12}]{2^{0))}=1=0\,$ cent	${\frac {1}{1}}=1=0\,$ cent	0
mindre sekund	${\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}\approx 1{,}059463=100\,$ cent	${\frac {16}{15}}\approx 1{,}066667\approx 111{,}73\,$ cent	−11.73
Major tvåa	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}\approx 1{,}122462=200\,$ cent	${\frac {9}{8}}=1{,}125\approx 203{,}91\,$ cent	−3,91
Mindre trea	${\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}\approx 1{,}189207=300\,$ cent	${\frac {6}{5}}=1{,}2\approx 315{,}64\,$ cent	−15.64
Major trea	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}259921=400\,$ cent	${\frac {5}{4}}=1{,}25\approx 386{,}31\,$ cent	13,69
Quart	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}\approx 1{,}334840=500\,$ cent	${\frac {4}{3}}\approx 1{,}333333\approx 498{,}04\,$ cent	1,96
Triton	${\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}\approx 1{,}414214=600\,$ cent	${\frac {45}{32}}\approx 1{,}406250\approx 590{,}22\,$ cent	9,78
Kvint	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}\approx 1{,}498307=700\,$ cent	${\frac {3}{2}}=1{,}5\approx 701{,}96\,$ cent	−1,96
Mindre sjätte	${\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}\approx 1{,}587401=800\,$ cent	${\frac {8}{5}}=1{,}6\approx 813{,}69\,$ cent	−13.69
Major sexa	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}\approx 1{,}681793=900\,$ cent	${\frac {5}{3}}\approx 1{,}666667\approx 884{,}36\,$ cent	15,64
Mindre sjua	${\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}\approx 1{,}781797=1000\,$ cent	${\frac {16}{9}}\approx 1{,}777778\approx 996{,}09\,$ cent	3,91
Bra sjua	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}\approx 1{,}887749=1100\,$ cent	${\frac {15}{8}}=1{,}875\approx 1088{,}27\,$ cent	11,73
Oktav	${\sqrt[{12}]{2^{12))}=2=1200\,$ cent	${\frac {16}{8}}=2=1200\,$ cent	0

Uppskattade frekvenser för pianoklaviatur

Anteckningar

Frekvensvärdena beräknas baserat på standardfrekvensen för stämgaffeln la 1 = 440 Hz.
För fenomenet med inexakt likhet mellan beräknade och verkliga frekvenser för ett stämt piano (utvidgning av intervaller vid kanterna av intervallet), se Railsback-kurvor .

Subcontroctave

Täcker ljud med frekvenser från 16.352 Hz (inklusive) till 32.703 Hz. Namnen på stegen skrivs med stor bokstav och siffran 2 (eller två streck) sätts längst ner till höger. I vetenskaplig notation har den siffran 0.

Stegnummer	Frekvens, Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	16.352	Upp till 2	C2 _	C0	-52
2	18.354	Re 2	D2 _	D0	-femtio
3	20,602	Mi 2	E 2	E0	-48
fyra	21,827	Fa 2	F2 _	F0	-47
5	24 500	Salt 2	G2 _	G0	-45
6	27 500	La 2	A2 _	A0	-43
7	30,868	C 2	H2 _	B0	-41

Controctave

Täcker ljud med frekvenser från 32.703 Hz (inklusive) till 65.406 Hz. Namnen på stegen skrivs med stor bokstav och siffran 1 (eller ett slag) sätts längst ner till höger. Det är nummer 1 i vetenskaplig notation.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	32,703	Upp till 1	C1 _	C1	-40
2	36,708	Re 1	D1 _	D1	-38
3	41,203	Mi 1	E 1	E1	-36
fyra	43,654	Fa 1	F1 _	F1	-35
5	48.999	Sol 1	G1 _	G1	-33
6	55 000	La 1	A 1	A1	-31
7	61,735	C 1	H1 _	B1	-29

Major oktav

Täcker ljud med frekvenser från 65.406 Hz (inklusive) till 130.81 Hz. Namnen på stegen skrivs med stor bokstav utan ytterligare siffror eller streck. Det är nummer 2 i vetenskaplig notation.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	65,406	Innan	C	C2	-28
2	73,416	Re	D	D2	-26
3	82,406	Mi	E	E2	-24
fyra	87,307	F	F	F2	-23
5	97,999	Salt	G	G2	-21
6	110.00	la	A	A2	-19
7	123,47	Xi	H	B2	-17

Liten oktav

Täcker ljud med frekvenser från 130,81 Hz (inklusive) till 261,63 Hz. Namnen på stegen skrivs med en liten bokstav utan ytterligare siffror eller streck. Det är nummer 3 i vetenskaplig notation.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	130,81	innan	c	C3	-16
2	146,83	re	d	D3	-fjorton
3	164,81	mi	e	E3	-12
fyra	174,61	F	f	F3	-elva
5	196.00	salt-	g	G3	-9
6	220,00	la	a	A3	-7
7	246,94	si	h	B3	-5

Första oktaven

Inkluderar ljud med frekvenser från 261,63 Hz (inklusive) till 523,25 Hz. Namnen på stegen är skrivna med en liten bokstav, siffran 1 (eller ett slag) är skrivet uppe till höger. I vetenskaplig notation är det nummer 4.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	261,63	upp till 1	c 1	C4	-fyra
2	293,67	re 1	d1 _	D4	-2
3	329,63	mi 1	e 1	E4	-0
fyra	349,23	fa 1	f1 _	F4	+0
5	392,00	salt 1	g 1	G4	+2
6	440,00	la 1	en 1	A4	+4
7	493,88	si 1	h1 _	B4	+6

Andra oktav

Inkluderar ljud med frekvenser från 523,25 Hz (inklusive) till 1046,5 Hz. Namnen på stegen skrivs med en liten bokstav, siffran 2 (eller två streck) skrivs uppe till höger. Det är nummer 5 i vetenskaplig notation.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	523,25	upp till 2	c 2	C5	+7
2	587,33	re 2	d2 _	D5	+9
3	659,26	mi 2	e 2	E5	+11
fyra	698,46	fa 2	f2 _	F5	+12
5	783,99	salt 2	g2 _	G5	+14
6	880,00	la 2	en 2	A5	+16
7	987,77	si 2	h2 _	B5	+18

Tredje oktav

Inkluderar ljud med frekvenser från 1046,5 Hz (inklusive) till 2093,0 Hz. Namnen på stegen skrivs med en liten bokstav, siffran 3 (eller tre streck) skrivs uppe till höger. I vetenskaplig notation har den siffran 6.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	1046,5	upp till 3	c 3	C6	+19
2	1174,7	re 3	d3 _	D6	+21
3	1318,5	mi 3	e 3	E6	+23
fyra	1396,9	fa 3	f 3	F6	+24
5	1568,0	salt 3	g 3	G6	+26
6	1760,0	la 3	en 3	A6	+28
7	1975.5	si 3	h 3	B6	+30

Fjärde oktav

Inkluderar ljud med frekvenser från 2093,0 Hz (inklusive) till 4186,0 Hz. Namnen på stegen skrivs med en liten bokstav, siffran 4 (eller fyra streck) skrivs uppe till höger. Det är nummer 7 i vetenskaplig notation.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	2093,0	upp till 4	c 4	C7	+31
2	2349,3	re 4	d4 _	D7	+33
3	2637,0	mi 4	e 4	E7	+35
fyra	2793,8	fa 4	f4 _	F7	+36
5	3136,0	salt 4	g4 _	G7	+38
6	3520,0	la 4	en 4	A7	+40
7	3951.1	si 4	h 4	B7	+42

Femte oktav

Inkluderar ljud med frekvenser från 4186,0 Hz (inklusive) till 8372,0 Hz. I Helmholtz-notation skrivs stegens namn med en liten bokstav, siffran 5 (eller fem streck) skrivs uppe till höger. Det är nummer 8 i vetenskaplig notation.

Stegnummer	frekvens Hz	Syllabisk notation enligt Helmholtz	Bokstavsbeteckning enligt Helmholtz	Amerikansk notation	Koordinatfrekvensnotation
ett	4186,0	upp till 5	från 5	C8	+43
2	4698,6	re 5	d5 _	D8	+45
3	5274,0	mi 5	e 5	E8	+47
fyra	5587,7	fa 5	f5 _	F8	+48
5	6271,9	salt 5	g5 _	G8	+50
6	7040,0	la 5	en 5	A8	+52
7	7902.1	si 5	h 5	B8	+54

Varianter med samma temperament

Det vanligaste och mest utbredda lika temperamentet (RT) är 12-stegs (det var informationen ovan som motsvarade det).

Det finns dock även varianter av lika temperament med olika antal divisioner av oktaven ( n ). I det här fallet ändras formeln för frekvenser i

{\displaystyle f(i)=f_{0}\cdot 2^{i/n))

För att skriva uttrycket " n -steg RT" kortare, introduceras förkortningen " n -tRT" , där siffran n motsvarar antalet steg per oktav. Det finns musikstycken skrivna i 19-tRT [4] , 24-tRT, 31-tRT [5] och till och med 53-tRT [6] . I början av 2000-talet arbetar P. A. Chernobrivets med studiet av 20-stegs lika temperament [7] .

Valet av värdet n = 12 som det huvudsakliga beror på det faktum att för det akustiskt tydliga ljudet av polyfona musikaliska verk är det rena ljudet av kvintar särskilt viktigt (som den mest "konsonant", bortsett från oktaven, intervaller ), och helst bör frekvensförhållandet för tonerna som bildar kvintan vara lika med 3/2. Med RT motsvarar "femte" för varje n ett sådant tal k att , och det är möjligt att kontrollera genom uppräkning att för n = 12 (med k = 7 är det närmaste heltal till ln(3/2)/ln( 2) n ) det bästa uppnås approximation än för mindre eller något större n (det skulle vara mer exakt för n = 41 eller n = 53, men för stort n är obekvämt ur praktisk synvinkel) [8] . $2^{k/n}\approx 3/2$

Lika temperament kan också dela upp ett annat intervall, inte bara en oktav, i ett heltal av lika steg. För att undvika tvetydigheter används i till exempel engelsk litteratur frasen "lika indelningar av en oktav" eller dess korta form EDO flitigt. På ryska förmedlar frasen "lika indelningar av oktaven" eller RDO samma betydelse. Därför kan 12-tRT också hänvisas till som 12RDO, 19-tRT som 19RDO och så vidare [9] .

Lika temperament och andra stämningar

Tillsammans med det nu dominerande jämnt tempererade systemet fanns det andra system. Den ryska musikforskaren Vladimir Odoevsky från 1800-talet skrev till exempel:

En rysk allmoge med musikalisk begåvning, vars öra ännu inte har blivit bortskämd av gatubanor eller italiensk opera, sjunger mycket troget; och, av sin egen instinkt, tar intervallet väldigt distinkt, naturligtvis, inte i vår fula tempererade skala <...> Jag spelade in från rösten till [vår berömda ryska sångare Ivan Evstratievich Molchanov, en man med en underbar musikalisk organisation] en mycket intressant låt: "At the Trinity, at Sergius, it was near Moscow" <...> märkte att sångarens Si inte på något sätt passar med mitt piano Si ; och Molchanov märkte också att något var fel här <...> Detta ledde mig till idén om att arrangera ett ohärdat piano i ett sådant system som ett vanligt. Jag tog som utgångspunkt det naturliga gamma som beräknats med akustiska logaritmer med hjälp av Prony-metoden; i denna enharmoniska clavicin är alla femtedelar rena, de rödmarkerade skarpen är separerade från plattorna och på grund av en omöjlighet i själva instrumentets mekanism offrade jag fa $\platt$ och ut $\platt$ för att bevara si $\skarp$ och mi $\skarp$ , eftersom våra folksångare – av någon anledning förstår jag inte, sjung mer i skarpa snarare än platta toner

— V. F. Odoevsky [10]

En storskalig rörelse av autentiska musiker praktiserar återgivningen av det förflutnas musik i de stämningar där musiken de spelar skrevs.

I icke-europeisk traditionell musik bevaras bruket att använda skalor som skiljer sig från lika temperament - i alla genrer och former av den kraftfulla makamo- mugham - traditionen [11] , såväl som i indiska [12] , etc.

Anteckningar

↑ Se Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
↑ Bach, J.S. JS Bach: The Well-Tempered Clavier (neopr.) / Palmer, Willard A.. - Los Angeles, CA: Alfred Music Publishing, 2004. - P. 4. - ISBN 0882848313 .
↑ Hart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China Arkiverad 5 mars 2012.
↑ Nio preludier för två pianon i 19-toners temperament Arkiverade 26 februari 2012 på Wayback Machine av Joel
↑ Konsert nr. 2 för två violiner och orkester Arkiverad 1 september 2012 på Wayback Machine av Henk Badings , 1969
↑ Brev från B. Cicovacki till P. Scaruffi Arkiverat 14 december 2011 på Wayback Machine :
... Josip Slavensky skrev ett verk för elektroniska instrument som heter "Music in the Natural Tonal System" (1937). Det finns två delar i den, den första är skriven för Bosanquet- harmoniet med 53 toner per oktav ... "

(" ...JOSIP STOLCER SLAVENSKI <...> komponerade en komposition för elektroniska instrument med titeln Music in the Natural Tonal System (1937). Den innehåller två satser: den första satsen är skriven för Bosanquet enharmonium med 53 toner i en oktav ")
↑ Chernobrivets P. A. Ljud-tonhöjdsrelationer och egenskaper hos systembildning under förhållanden med tjugotons enhetligt temperament. Journal of the Music Theory Society. Nr 8. 2014/4. . Hämtad 29 juli 2022. Arkiverad från originalet 3 mars 2022. (obestämd)
↑ Voloshinov, A.V. Mathematics and Art (kapitel 9: "Algebra of Harmony - Temperament") . - Moskva: Education , 1992. - ISBN 5090027056 . (ryska)
↑ I. Aliyeva _ _ _
↑ Odoevsky V. F. ["Ryska allmoge ..."]. Cit. från V. F. Odoevskys samling. Musikaliskt och litterärt arv - M .: State Musical Publishing House, 1956. - sid. 481-482
↑ Inom hushållsvetenskapen påpekades detta, från slutet av 1920-talet, av den framstående musikforskaren och etnografen V. M. Belyaev ; se till exempel hans verk: turkmensk musik. Volym 1. M., 1928 (med V. A. Uspensky); Guide för mätning av folkmusikinstrument, M., 1931; Musikinstrument i Uzbekistan, M., 1933; Fret system i musiken av folken i Sovjetunionen // V. M. Belyaev. [lör. artiklar]. M.: Sov. kompositör, 1990. Bland moderna publikationer finns rapporten av S. Agayeva och Sh. Hajiyev "Om problemen med att studera tonhöjdssystemet för azerbajdzjanska mughams". VII Intern. symposium för vetenskaplig forskning grupp "Makam" på Internationalen. råd för handel. musik UNESCO. Baku. 2011. S. 20-32; se även den nämnda artikeln Arkiverad 15 januari 2013 på I. Aliyevas Wayback Machine . För en kort genomgång och bibliografi över utländsk litteratur om detta ämne, se O. Wright et al. Arabisk musik. I. Konstmusik // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . London, New York, 2001; H. Farhat. Iran. II. klassisk tradition. 2. Teori om intervaller och skalor, 3. Det modala systemet. // ibid. Se även 'Issam El-Mallah. Arabisk musik och notskrift. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marcus. Gränssnittet mellan teori och praktik: intonation i arabisk musik. Asian Music Vol. 24, nr. 2 (1993), sid. 39-58; H. Farhat. Scales and Intervals: Theory and Practice, Irish Musical Studies, i (1990), pp. 216-26.
↑ För en sammanfattning och bibliografi över utländsk litteratur i ämnet, se Powers H. och Widdess R. Indien, subkontinenten av. III. Teori och praktik av klassisk musik. 1. Tonala system // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . London, New York, 2001.

Litteratur

Barbour JM Stämning och temperament: En historisk översikt. East Lansing, 1951; Mineola, 2004;
Lindley M. Luter, violer och temperament. Cambridge, 1984;
Lindley M. Stimmung und Temperatur // Geschichte der Musiktheorie. bd. 6. Darmstadt, 1987, s. 109-331.
Lindley M., Turner-Smith R. Matematiska modeller av musikaliska skalor: Ett nytt tillvägagångssätt. Bonn, 1993;
Auhagen W. Stimmung und Temperatur // Die Musik in Geschichte und Gegenwart . Sachteil. bd. 8. Kassel; Basel, 1998, Sp. 1831-1847.
Rasch R. Stämning och temperament // The Cambridge history of Western music theory. Cambridge, 2002, s. 193-222.

Länkar

Zubov A. Yu. Temperament // Great Russian Encyclopedia. T. 32. M., 2016, sid. 27

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Brockhaus och Efron Britannica (online)

musikalisk skala
Pythagoras system naturlig inställning Mellanton Lika temperament