Mellanton

Mellantonsstämning ( tyska mitteltönige Stimmung , engelska meantone tuning ) eller mellantonstemperament är en musikskala baserad på en sekventiell kedja av kvintdelar, som var och en är tempererad (reducerad jämfört med akustiskt ren med samma mängd). I mellantonsstämningen har alltså alla kvintdelar samma förhållande mellan frekvenser av ljud (denna egenskap hos stämningen kallas ofta också för regularitet [1] ). Ett karakteristiskt kännetecken för mellantonsstämningar är närvaron i dem av "mellanheltoner" (därav namnet): i sådana stämningar är en dursekund exakt hälften av en durterts.

En speciell plats bland mellantonsskalorna upptas av en skala där alla kvintdelar är tempererade med 1/4 didymium komma : i den visar sig stora tredjedelar, erhållna som ett resultat av att skjuta upp fyra femtedelar som härdats på detta sätt, vara akustiskt klart. Ofta hänvisar termen "mellanton" till detta system.

Terminologi och historiska kommentarer

Mängden med vilken kvintarna härdas i mellantonsskalan anges i dess namn, och det uttrycks vanligtvis i bråkdelar av didymekomma femtekedjan: G. Zarlinos (1558) [2] definition av mellantonsskalan vid 2/7 kommatecken är den första dokumenterade matematiskt rigorösa beskrivningen av temperamentsskalan (i ordets rätta betydelse) [3] .

1/4-komma-meantone eller kvart -komma-meantone mellantonsstämning beskrevs först av J. Zarlino (1571) [4] och F. Salinas (1577) [5] . M. Pretorius (1619) [6] gav dels en praktisk metod för att stämma orgeln i mellantonskalan till 1/4 komma, dels en mycket fullständig teoretisk beskrivning av den senare. I detta avseende fick detta system också namnet "praetorian" ( prätorianische Stimmung ), särskilt vanligt i tysk litteratur, från och med 1600-talet (av A. Werkmeister m.fl.).

Den mellersta heltonen (dur sekund) i den "praetoriska" skalan, i motsats till dur (9:8) och moll (10:9) heltoner i den rena skalan, är den exakta hälften av en ren dur terts (5 ) :4), och är dessutom mitten mellan de större och mindre heltonerna.

Enligt den allmänna definitionen hör även enhetligt temperament till mellantonsskalorna , eftersom alla kvintdelar i den härdas med samma värde - 1/12 av det pythagoriska kommatecken [7] . En hel ton i en lika temperamentsskala är den mellersta, som delar exakt i hälften av den lika härdade durtertsen [8] .

I rysk populärvetenskaplig litteratur (till exempel i A.M. Volkonsky ) återfinns istället för termen "mellanton", termen "mesotonisk", som är en morfologisk överföring av de franska och italienska termerna ( franska Tempérament mésotonique , italienska Temperamento mesotonico ) [9] .

Mellanton 1/4 komma ("praetorian")

Teoretisk grund

Om i en kedja av fyra femtedelar - t.ex.

CGdae 1 ,

alla femtedelar är rent avstämda (de har ett ljudfrekvensförhållande på 3:2), sedan har den stora tredje CE , bildad "längs dess kanter" (med hänsyn till överföringen av ljud e 1 ned två oktaver, har ett ljudfrekvensförhållande på 81:64), visar sig vara en stor tredjedel av det pytagoreiska systemet ( dyton ). Den stora tredjedelen av den pytagoreiska skalan är bredare än den mer välljudande stora tredjedelen av den rena skalan (5:4) med Didyme-komma (81:80). Därför, om varje femtedel i den givna kedjan är tempererad (nästan omärkligt ändrad av örat) med en minskning med 1/4 av didymkomma, så kommer den stora tredjedelen efter två oktaver Ce 1 längs kedjans kanter att vara en ren avstämd, det vill säga ett intervall av det naturliga ljudet utan att slå skalan mellan övertonerna 1 och 5. Förhållandet mellan ljudfrekvenserna för 1/4 delen av didymiumkomma är

\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4\cdot5}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4] 5}

vilket gör förhållandet mellan ljudfrekvenserna för mellantonens kvint (en kvint reducerad med 1/4 av didymkomma) lika med

\frac32:\left(\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}\right)=\sqrt[4]5

[10] , eller 696,5784 cent .

Jämförelse med rena avstämningsintervall

Följande tabell jämför de stora "praetoriska" inställningsintervallen med rena avstämningsintervall . Symbolen indikerar förhållandet mellan frekvenser ¼ komma [11] . $\beta$

Mellantonsintervall per ¼ kommatecken	F	O	Frekvensförhållande _	Förhållande med rena trimintervaller		Värde i cent
förstärkt prima, kromatisk halvton	7	-fyra	${\frac {25}{16{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {25}{24}}\beta$	överskrider den mindre kromatiska halvtonen för ren stämning (25:24) med ¼ kommatecken	76,05
liten sekund, diatonisk halvton	-5	3	${\frac {8}{5{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {16}{15}}\beta$	överträffar den mindre diatoniska halvtonen av ren stämning (16:15) med ¼ kommatecken	117.11
dur sekund, (mellan) helton	2	-ett	${\frac {\sqrt {5}}{2}}$	$\ ={\frac {10}{9}}\beta ^{2}={\frac {9}{8}}:\beta ^{2}=$ $\ ={\sqrt {{\frac {10}{9}}\cdot {\frac {9}{8}}}}={\sqrt {\frac {5}{4}}}$	mer än en mindre helton (10:9) med ½ komma och mindre än en större helton (9:8) med ½ komma; mitt emellan dessa hela toner; exakt hälften av en ren durterts (5:4)	193,16
mindre tredje	-3	2	${\frac {4}{5}}{\sqrt[{4}]{5}}$	$\ ={\frac {6}{5}}:\beta$	mindre än en ren moll terts (6:5) med ¼ komma	310,26
stor tredje	fyra	-2	${\frac {5}{4))$		är en ren majortrea	386,31
quart	-ett	ett	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {4}{3}}\beta$	överträffar den perfekta fjärden (4:3) med ¼ komma	503,42
kvint	ett	0	${\sqrt[{4}]{5}}$	$\ ={\frac {3}{2}}:\beta$	mindre än en ren femtedel (3:2) med ¼ komma	696,58
moll sjätte	-fyra	3	${\frac {8}{5}}$		är en ren moll sexa	813,69
major sjätte	3	-ett	${\frac {5}{2{\sqrt[{4}]{5))))$	$\ ={\frac {5}{3}}\beta$	mer än en ren dur sjätte (5:3) med ¼ komma	889,74

Byggnad

Grundton: C, början på byggnaden Es och vidare längs femte cirkeln

Konstruktionen av skalan kan göras som i det pythagoriska systemet , bara med en bas inte en ren kvint, utan en mellanton, som har ett förhållande mellan frekvenser:

$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}$ , det vill säga en sådan mellantons kvint är ungefär 5 cent redan ren.

Notera notering	Förhållandet mellan frekvens och tonic
Es	$\frac{8}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot 4$
B	$\frac{4}{9} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot 4$
F	$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25} \cdot 2$
C	$\frac{1}{1} = 1$
G	$\frac{3}{2}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}25}$
D	$\frac{9}{4}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}5} \cdot \frac{1}{2}$
A	$\frac{27}{8}:\left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{1}{2}$
E	$\frac{81}{16}:\frac{81}{80} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
H	$\frac{243}{32}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}25} \cdot \frac{1}{4}$
Fis	$\frac{729}{64}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}5} \cdot \frac{1}{8}$
Cis	$\frac{2187}{128}:\left(\frac{81}{80}\right)^{1{,}75} \cdot \frac{1}{16}$
Gis	$\frac{6561}{256}:\left(\frac{81}{80}\right)^2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{25}{16}$

Således kan följande intervall erhållas

Åtta rena större tredjedelar: Es-G, BD, FA, CE, GH, D-Fis, A-Cis, E-Gis
Elva mellantonsfemtedelar: Es-B, BF, FC, CG, GD, DA, AE, EH, H-Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
En utökad vargfemtedel ( minskad sjättedel ): Gis-Es med frekvensförhållande

2 \cdot \frac{32}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \cdot \frac{16}{25} = \frac{1024 }{675} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{0{,}75} \approx \frac{3{,}0625}{2} \approx 737{,}64\ ,\mathrm{Cent}

Fyra något uppblåsta större tertsar ( minskade fjärdedelar ): H-Es, Fis-B, Cis-F, Gis-C

\frac{32}{25}\approx 427{,}37\,\mathrm{Cent}

Närvaron av uppblåsta tredjedelar är förknippad med närvaron av en liten diesa , det vill säga med ojämlikheten av tre stora tredjedelar till en oktav.

Andra mellantoner

Anteckningar

↑ Termen går tillbaka till en:Р. Bozanquetu . I en annan terminologi (särskilt inneboende i den moderna matematiska teorin om musikaliska stämningar) är en vanlig stämning (temperament) en abstrakt matematisk stämning som består av ett oändligt antal ljud (steg), vars relativa frekvenser bildas (på ett naturligt sätt) en ändligt genererad fri Abelisk grupp - jfr till exempel en:Regular Temperament .
↑ Istitutioni harmonice (1:a uppl., 1558) II, 42-47.
↑ Se till exempel Rasch, R. Tuning and Temperament // The Cambridge History of Western Music Theory. - NY: Cambridge University Press, 2002. - S. 193-222. — ISBN 0521623715 .
↑ Dimostrationi harmoniche (1:a uppl., 1571), sid. 263-269. I litteraturen, som börjar med A. J. Ellis , har åsikten länge rådit att 1/4-komma-mellantonsstämningen först beskrevs av P. Aaron i det sista kapitlet av Il Toscanello della Musica (1523). Arons beskrivning är dock av allmän karaktär, utan att specificera temperamentsvärdena. Hans krav på att tredjedelar ska vara "ljudliga och tydliga, det vill säga så enhetliga som möjligt" ( sonora & giusta, cioe unita al suo possibile ) kan inte alltid tas bokstavligt som ett krav på deras akustiska renhet (5:4), eftersom längre fram han hänvisar uttryckligen till deras temperament i din miljö ( per laqual participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste ). För en detaljerad analys av P. Aarons temperament, se till exempel Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments // Musica Disciplina. - 1974. - T. 28 . - S. 129-151. ; JSTOR20532169 . Dessutom kallar Zarlino, som definierar en mellantonsskala med temperament på femtedelar per 1/4 kommatecken, det för nytt .
↑ De musica libri septem , Liber III, Cap. XIII-XIV. Salinas noterar att han kom till detta system oberoende av Zarlino: "Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem" ("I min ungdom" Jag var i Rom, det verkade för mig att det här [exakt] jag uppfann, och senare upptäckte jag att G. Zarlino påstod detsamma, och vad han sa var inte på något sätt annorlunda än vad jag uppfann.") Salinas till Rom ägde rum år 1538 - långt före publiceringen av honom och Zarlino av beskrivningen av mellantonsystemet för 1/4 komma.
↑ Syntagma Musicum , T. II De Organographia , IV Theil, Cap. IV
↑ Eftersom 1/12 av det pythagoreiska kommatecken är praktiskt taget lika med 1/11 av didyme-kommet (skillnaden mellan dessa delar av kommatecknet är mindre än 0,00012 cent ) klassificeras också systemet med lika temperament av många författare som ett mellan- tonsystem på 1/11 (didyma) komma - skillnaden mellan detta system från ett exakt beräknat lika temperament har bara en formell matematisk karaktär.
↑ Ibland, formellt och matematiskt, kallas det pytagoreiska systemet också som mellantonsystem , där alla kvintdelar i femtekedjan är rena, det vill säga inte härdade, eller med andra ord "tempererade till noll". Ur denna synvinkel från pytagoreerna är systemet "mellantonsystem med 0 andelar komma". En hel ton på den pytagoreiska skalan (9:8) är den exakta halvan av ditonen , det vill säga den stora tredjedelen av den pytagoreiska skalan (81:64).
↑ I den engelska vetenskapliga litteraturen från slutet av 1800-talet och början av 1900-talet användes även termen mesotonisk (till exempel av A. J. Ellis ).
↑ Förhållandet mellan frekvenserna för ljuden för en femtedel av det "praetoriska" systemet kan också erhållas från ekvationen som uttrycker förhållandet "fyra femtedelar av det "praetoriska" systemet utan två oktaver ger en större tredjedel av en ren stämning." $x$ $x^4\,:\,(2/1)^2=5/4$
↑ Det vill säga . $\beta=\sqrt[4]{\frac{81}{80}}=\frac32\cdot\frac1{\sqrt[4]5}$

Länkar

Praktiska sätt att stämma ett musikinstrument på gehör (engelska):
- Kvartskomma-medelton - i mellantonssystemet på 1/4 komma ("praetorian")
- Tredje-komma-medelton - i mellantonsystemet med 1/3 komma
- Sjätte-komma-medelton - i mellantonsystemet för 1/6 komma

Litteratur

Volkonsky, A. Grunderna i temperamentet. - M . : Kompositör, 1998.
Lindley, M. Historical Survey of Meantone Temperaments to 1620 // Early Keyboard Journal. - 1990. - T. 8 .
Leedy, D. A Venerable Temperament Rediscovered // Perspectives of New Music. — Vol. 29 , nr. 2 (Summer, 1991), sid. 202–211 ( JSTOR #833439 )
Lindley, M. Femtonde århundradets bevis för medeltontemperament // Proceedings of the Royal Musical Association. - (1975-1976). - T. 102 . - S. 37-51. ( JSTOR #766092 )
Lindley, M. Luter, violer och temperament. - Cambridge etc.: Cambridge University Press, 1984. - S. 43-66. — ISBN 0521288835 .
Lindley M., Turner-Smith RF Matematiska modeller av musikskalor: ett nytt tillvägagångssätt. - Bonn: Verlag für Systematische Musikwissenschaft, 1993. - S. 52-54. — ISBN 3922626661 .
Lindley, M. Zarlinos 2/7-komma innebar ett temperament // Music in Performance and Society. Essays in Honor of Roland Jackson (Detroit Monographs in Musicology) / M. Cole och J. Koegel, red. - Michigan: Harmonie Park Press, 1997. - ISBN 0899901069 .
Barbour, J. Murray. Tuning and Temperament: A Historical Survey . - New York: Dover Publications, 2004. - S. 25-44 . — ISBN 0486434060 . (Återtryck av den första upplagan 1951, East Lancing, Michigan State College Press)

musikalisk skala
Pythagoras system naturlig inställning Mellanton Lika temperament