Volterra integralekvation

Volterra-integralekvationen (stavningen av Volterra-integralekvationen [1] är också vanlig ) är en speciell typ av integralekvationer . Föreslagen av den italienske matematikern Vito Volterra och senare studerad av Traian Lalescu i Sur les equations de Volterra , skriven 1908 under ledning av Émile Picard . 1911 skrev Lalescu den första boken om integralekvationer. Ekvationerna används i demografi, studiet av viskoelastiska material, i försäkringsmatematik genom återvinningsekvationen.

Dessa ekvationer är uppdelade i två typer.

Linjär Volterra-ekvation av det första slaget:

f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds

var är en given funktion och är en okänd funktion. $f$ $x$

Linjär Volterra-ekvation av det andra slaget:

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds

I operatorteorin och i Fredholmsteorin kallas motsvarande ekvationer för Volterra-operatorn .

Funktionen i integralen kallas ofta för kärnan . Sådana ekvationer kan analyseras och lösas med Laplaces metod. $K$

Ekvationer med en homogen kärna

Första typen

f(t)=\int _{0}^{t}K(ts)\,x(s)\,ds

Lösningen är baserad på Laplace-transformen . Utföra Laplace-transformationen av båda sidor av ekvationen och beteckna den med en tilde:

{\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)

På det här sättet,

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}({\tilde {K}}(p)))

Om för funktioner tenderar att respektive, då för stor funktion . Det innebär att det finns ett -funktionellt bidrag att göra. Därmed ser lösningen ut $t\to 0$ $K(t),f(t)$ ${\displaystyle K_{0},f_{0))$ $sid$ ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$ $\delta$

x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac { dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)))-{\frac { f_{0}}{K_{0}}}}\right)

Andra sorten

f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(ts)x(s)\,ds

Liknande resonemang leder till att

{\tilde {x}}(p)={\frac ({\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)))

Här uppstår inte fallet med osäkerhet och

x(t)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{ \tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\right)

Anteckningar

↑ Verzhbitsky M.V. Numeriska metoder (matematisk analys och vanliga differentialekvationer). Studiehandledning . - Directmedia, 2014. - S. 351. - 400 sid. — ISBN 9785445838760 .