Intervalluppskattning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 maj 2022; verifiering kräver 1 redigering .

I matematisk statistik är en intervalluppskattning resultatet av att använda ett urval för att beräkna intervallet av möjliga värden för en okänd parameter vars uppskattning måste byggas. Det bör särskiljas från en punktuppskattning , som bara ger ett värde. Den vanligaste typen av intervalluppskattningar är konfidensintervall .

Definition

Låta vara ett slumpmässigt urval av storlek genererat av en slumpvariabel med en sannolikhetsfördelningsfunktion känd upp till parametern . Med ett urval är det nödvändigt att hitta en uppskattning av parametern . I det allmänna fallet är det noll sannolikhet att - att punktskattningen kommer att matcha parametern . Därför används intervalluppskattning för att uppskatta parametern. $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ $n$ $F(x;\theta )$ $\theta \in \Theta$ $X$ ${\hat {\theta ))$ $\theta \in \Theta$ ${\hat {\theta }}=\theta$ ${\hat {\theta ))$ $\theta$

Problemet är att, baserat på urvalet, hitta statistik , som med säkerhet tillfredsställer ojämlikheten . Låt oss ta ett tillräckligt litet antal — signifikansnivån . Då kallas intervallet intervalluppskattningen av parametern om . ${\hat {\theta _{1}}}={\hat {\theta _{1}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\hat {\theta _{2}}}={\hat {\theta _{2}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\displaystyle {\hat {\theta _{1))}<\theta <{\hat {\theta _{2))))$ $\alfa$ $[{\hat {\theta _{1}}},{\hat {\theta _{2}}}]$ $\theta$ $P({\hat {\theta _{1))}<\theta <{\hat {\theta _{2))})=1-\alpha$

Intervallet kallas parameterns konfidensintervall på nivån signifikans eller tillförlitlighet [1] . $I(X)=[{\hat {\theta _{1}}}(X),{\hat {\theta _{2}}}(X)]$ $\alfa$ $1-\alfa$

Egenskaper för intervalluppskattningar

Om två olika konfidensintervall är byggda för att uppskatta parametern , är intervallet mindre än intervallet om och endast om sannolikheten för att täcka något med ett intervall är mindre än eller lika med sannolikheten för att täcka med ett intervall för varje [2] . $\theta$ $1-\alfa$ $jag$ $J$ $jag$ $J$ $\theta$ $\theta _{1}\neq \theta$ $jag$ $\theta _{1}$ $J$
Tillförlitlighetskonfidensintervallet för kallas opartisk om sannolikheten att täcka någon av dem är mindre än eller lika med [2] . $jag$ $1-\alfa$ $\theta$ $\theta _{1}\neq \theta$ $1-\alfa$

Historik

Jerzy Neumann definierade intervalluppskattning ("intervalluppskattning") som skild från punktuppskattning ("enkel uppskattning"). Han insåg att eftersom resultaten från den tiden publicerades i form av "uppskattning ± standardavvikelse ", menade statistiker faktiskt intervalluppskattning.

Se även

Poänguppskattning

Anteckningar

↑ Kolemaev, 1991 , sid. 225.
↑ 1 2 Kolemaev, 1991 , sid. 233.

Litteratur

Kolemaev V. A. Sannolikhetsteori och matematisk statistik. - M . : Högre skola, 1991. - 400 sid. — ISBN 5-06-001545-9 .
Matalytsky M.A., Khatskevich G.A. Sannolikhetsteori, matematisk statistik och slumpmässiga processer. - Minsk: Högre skola, 2012. - 720 sid.