Cellens försvinnande

Försvinnandet av en cell (utseendet på en cell) är en välkänd klass av uppgifter ( optiska illusioner ) för att ordna om figurer som har tecken på matematiska sofism : initialt introducerades ett förtäckt fel i deras tillstånd. Vissa av dessa problem är nära relaterade till egenskaperna hos Fibonacci-talsekvensen .

Triangelproblem

Givet en rätvinklig triangel 13×5 celler, sammansatt av 4 delar. Efter att ha omorganiserat delarna samtidigt som de ursprungliga proportionerna visuellt bibehålls, dyker en extra cell upp, inte upptagen av någon del (figur 1 ).

Lösning

Ytorna på de skuggade figurerna är naturligtvis lika med varandra (32 celler), men vad som visuellt observeras som 13 × 5 trianglar är det faktiskt inte och har olika områden ( S 13 × 5 = 32,5 celler ). Det vill säga, felet som döljs i problemets tillstånd är att den initiala figuren heter en triangel (i själva verket är det en konkav quad ). Detta är tydligt synligt i figurerna 2 och 3 - " hypotenuserna " i de övre och nedre figurerna passerar genom olika punkter: (8.3) överst och (5.2) längst ner. Hemligheten ligger i egenskaperna hos de blå och röda trianglarna. Detta är lätt att verifiera genom beräkningar.

Förhållandena mellan längderna på motsvarande sidor av de blå och röda trianglarna är inte lika med varandra (2/3 och 5/8), så dessa trianglar är inte lika , vilket betyder att de har olika vinklar vid motsvarande hörn. Låt oss kalla den första figuren, som är en konkav fyrhörning, och den andra figuren, som är en konkav oktagon, för pseudotrianglar. Om de nedre sidorna av dessa pseudo-trianglar är parallella, så är hypotenuserna i båda 13×5 pseudo-trianglarna faktiskt brutna linjer (den översta bilden skapar en kink inåt, medan den nedersta bilden skapar en kink utåt). Om vi överlagrar de övre och nedre siffrorna 13 × 5 på varandra, bildas ett parallellogram mellan deras "hypotenuser" , som innehåller det "extra" området. I figur 3 visas detta parallellogram i korrekta proportioner.

Den spetsiga vinkeln i detta parallellogram är arcctg 46 [1] ≈ 0°1′18.2″. Vid denna vinkel rör sig minutvisaren på en fungerande klocka på 12,45 s . Det är med detta belopp som den trubbiga vinkeln i det aktuella parallellogrammet skiljer sig från den utplacerade . Visuellt är en sådan obetydlig skillnad omärklig.

Enligt Martin Gardner uppfanns detta problem av New York - amatörillusionisten Paul Currie 1953. Principen bakom det var dock känd redan på 1860-talet. Du kan se att längderna på figurernas sidor från detta problem (2, 3, 5, 8, 13) är på varandra följande Fibonacci-nummer .

Vanishing Square

I ett annat liknande pussel består en stor kvadrat av fyra identiska fyrhörningar [2] och en liten kvadrat. Om fyrhörningarna expanderas kommer de att fylla området som upptas av den lilla torget, även om arean på den stora torget inte kommer att förändras visuellt. Vid nästa vändning kommer den lilla fyrkanten att dyka upp igen.

Lösning

Denna paradox förklaras av det faktum att sidan (och arean) på den nya stora torget skiljer sig något från sidan (och arean) på den som var i början. Om vi tar som första figur kvadraten i mitten av vilken det inte finns någon liten romb, kommer ytterligare analys att förenklas märkbart.

Låt sidan av den initiala kvadraten vara , och sidorna av dess ingående fyrkanter dela denna sida ( ) i förhållande till . En bevandrad i geometri kan lätt bevisa att fyrhörningarna som är konstruerade på detta sätt är lika med varandra, har räta vinklar vid motsatta hörn (i mitten och i hörnen av kvadraten) och lika sidor intill i mitten av kvadraten (som är att de inte är romboider + det finns omskrivna cirklar för dem (summorna av motsatta vinklar är [3] )). Det blir också tydligt att romben i mitten av den andra figuren är en kvadrat. $\alfa$ $\alfa$ $\kappa \ \,(1/2<\kappa <1)$

Sidan på den lilla kvadraten på den andra figuren kommer att vara lika med . Vinkeln mellan ett par motsatta sidor av någon av de ingående fyrhörningarna (och, oavsett vilket par), låt betecknas med . Dess exakta värde kan beräknas [4] med koordinatmetoden, eller genom metoder för klassisk geometri. $\alpha (2\kappa -1)$ $\theta$

Om var och en av fyrhörningarna som utgör den första kvadraten roteras i en vinkel runt mitten av den omskrivna cirkeln runt den, kommer en andra figur att erhållas, med en ofylld kvadratisk yta i mitten. Vid nästa sväng kommer den första kvadraten att bildas igen. Arean av den andra kvadraten visar sig vara dubbelt så stor som den första (eller, vad är samma, gånger). I det här fallet är skillnaden nästan omärklig. Till exempel i de förklarande figurerna används vinkeln (respektive ). I det här fallet är skillnaden mellan områdena för stora rutor . Redan en sådan skillnad är svår att märka, även om värdet (och följaktligen värdet på vinkeln ) inte på något sätt är litet. $\pi$ $(4\kappa (\kappa -1)+2)$ $\sec ^{2}\theta$ $\kappa \ca 1/2$ $\theta =10^{{\circ ))$ $\kappa =({\mathrm {tg}}\,\theta +1)/2\approx 0,588\,2$ $\ca 3{,}11\,\%$ $\kappa$ $\theta$

Sålunda kan vi dra slutsatsen att felet som maskeras i tillståndet ligger i det faktum att rotationscentrumen för de ingående fyrhörningarna inte är där de visas under den visuella kontrollen av bilden (inte vid skärningspunkterna för deras diagonaler). De är belägna vid hörn av en kvadrat roterad i en vinkel i förhållande till den första kvadraten, även om dess sidor är parallella med sidorna av den andra. $-\theta$

Se även

Fördubbling av bollen paradox

Anteckningar

↑ Minsta vinkeln i en rätvinklig triangel med ett benförhållande på 1/46.
↑ Figuren visar att motsvarande sidor är lika. Av detta följer att medeltalet är åtminstone en romb.
↑ är lika , även om detta för en konvex fyrhörning är en obetydlig anmärkning $\pi$
↑ , och under roten här är förhållandet mellan arean av stora kvadrater (den andra till den första). $\theta ={\mathrm {arcsec}}\left({\sqrt {4(\kappa -1)\kappa +2}}\right)$