Banach-Tarski-paradoxen

Banach-Tarski-paradoxen (även kallad bollfördubblingsparadoxen och Hausdorff-Banach-Tarski-paradoxen ) är en sats inom mängdläran som säger att en tredimensionell boll är lika med sina två kopior.

Två delmängder av det euklidiska rummet kallas lika sammansatta , om den ena kan delas in i ett ändligt antal (inte nödvändigtvis sammankopplade ) parvisa icke-korsande delar, flytta dem och utgör den andra från dem (i en mellanposition kan delarna skära varandra, men i den inledande och sista kan de inte).

Närmare bestämt, två uppsättningar och är lika sammansatta om de kan representeras som en finit union av parvis disjunkta delmängder så att delmängden för varje delmängd är kongruent .

Det har bevisats att fem delar räcker för att dubbla bollen, men fyra är inte tillräckligt.

En starkare version av paradoxen är också sant :

Alla två avgränsade delmängder av ett tredimensionellt euklidiskt utrymme med ett icke-tomt inre är lika sammansatta.

Eftersom härledningen av detta teorem kan verka osannolikt, används det ibland som ett argument mot att acceptera valets axiom , vilket är viktigt för att konstruera en sådan partition. Antagandet av ett lämpligt alternativt axiom gör det möjligt att bevisa omöjligheten av den specificerade partitionen, vilket inte lämnar något utrymme för denna paradox.

Fördubblingen av bollen, även om den verkar mycket misstänksam ur vardagsintuitionens synvinkel (det är faktiskt omöjligt att göra två från en apelsin med bara en kniv), är det ändå inte en paradox i logisk mening. ord, eftersom det inte leder till en logisk motsägelse precis som den så kallade barberarparadoxen eller Russells paradox leder till en logisk motsägelse .

Historik

Paradoxen upptäcktes 1926 av Stefan Banach och Alfred Tarski . Mycket lik den tidigare Hausdorff-paradoxen , och dess bevis bygger på samma idé. Hausdorff visade att detta inte kunde göras på en tvådimensionell sfär, och därför i tredimensionell rymd, och Banach-Tarski-paradoxen ger en tydlig illustration av detta.

Anteckningar

Om vi ​​delar upp bollen i ett ändligt antal delar, förväntar vi oss intuitivt att genom att lägga ihop dessa delar kan vi bara få solida figurer vars volym är lika med volymen av den ursprungliga bollen. Detta gäller dock endast i fallet när bollen är uppdelad i delar som har volym.

Kärnan i paradoxen ligger i det faktum att det i det tredimensionella rummet finns icke-mätbara uppsättningar som inte har volym, om vi med volym menar något som har egenskapen additivitet , och vi antar att volymerna för två kongruenta uppsättningar sammanfalla.

Uppenbarligen kan "bitarna" i Banach-Tarski-partitionen inte vara mätbara (och det är omöjligt att implementera en sådan partition på något sätt i praktiken).

För en platt cirkel är en liknande egenskap inte sann. Dessutom visade Banach att i planet kan begreppet område utvidgas till alla avgränsade mängder som ett ändligt additivt mått , invariant under rörelser; i synnerhet har varje mängd som är lika långt till en cirkel samma area.

Ändå är vissa paradoxala uppdelningar också möjliga på planet: en cirkel kan delas upp i ett ändligt antal delar och göras av dem till en kvadrat med lika stor yta [1] [2] ( kvadrera Tarski-cirkeln ).

Anteckningar

  1. ↑ Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and discrepans: a solution to Tarskis circle squareing problem", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) s. 77-117.
  2. ↑ Miklos Laczkovich: "Paradoxala nedbrytningar: en undersökning av de senaste resultaten." First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), sid. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.

Litteratur