Lebesgue-måttet på är ett mått som generaliserar begreppen längden på ett segment , ytan på en figur och volymen på en kropp till ett godtyckligt dimensionellt euklidiskt utrymme . Mer formellt är Lebesgue-måttet en förlängning av Jordan-måttet till en bredare klass av uppsättningar [1] .
I synnerhet är Lebesgue-måttet för ett segment på den reella linjen lika med dess längd, Lebesgue-måttet för en polygon på planet är lika med dess area.
Den introducerades av den franske matematikern Henri Lebesgue 1902 i sitt avhandlingsarbete.
För en godtycklig delmängd av den reella linjen kan man hitta godtyckligt många olika system från ett ändligt eller räknebart antal intervall, vars union innehåller mängden . Sådana system kallar vi beläggningar . Eftersom summan av längderna av intervallen som utgör ett omslag är ett icke-negativt värde, är det avgränsat underifrån, och därför har uppsättningen av längder för alla omslag ett infimum . Detta ansikte, endast beroende på uppsättningen , kallas det yttre måttet :
Alternativ för att utse en extern åtgärd:
Det yttre måttet av ett intervall sammanfaller med dess längd, vilket är en konsekvens av den räknebara additiviteten hos Lebesgue-måttet vid halvering av intervall, segment och halvintervall. För att vara mer exakt ger denna räknebara additivitet , medan den motsatta ojämlikheten verkligen är uppenbar och följer direkt av definitionen av det yttre måttet. Dessutom kan man ge ett exempel på ett mått på en algebra så att det yttre måttet för någon mängd från denna algebra är strikt mindre än dess ursprungliga mått.
Om mängden är avgränsad är mängdens inre måttet skillnaden mellan längden på det innehållande segmentet och det yttre måttet på komplementet i :
För obegränsade uppsättningar definieras som den minsta övre gränsen över alla segment .
En mängd kallas Lebesgue mätbar om dess yttre och inre mått är lika. Sedan kallas det totala värdet av den senare uppsättningens Lebesgue-mått och betecknas med , , , eller .
Ett exempel på en Lebesgue-omätbar uppsättning konstruerades av J. Vitali 1905. Betrakta följande ekvivalensrelation på intervallet : om skillnaden är rationell . Vidare, från varje ekvivalensklass väljer vi en representant - en punkt (här använder vi valets axiom ). Då blir den resulterande uppsättningen representanter omätbar.
Faktum är att om vi skiftar ett räknebart antal gånger med alla rationella tal i intervallet , kommer unionen att innehålla hela segmentet , men samtidigt kommer det att finnas i segmentet . I det här fallet kommer de "skiftade kopiorna" av uppsättningen inte att skära varandra, vilket direkt följer av konstruktionen av och .
Därför, med hänsyn till Lebesgue-måttets räknebara additivitet,
Men om den konstruerade mängden är mätbar är detta omöjligt: allt beror på invariansegenskapen för Lebesgue-måttet (måttet på mängden ändras inte med en förskjutning) och därmed summan av serien
antingen oändlig (om ) eller lika med noll (om ); Det finns ingen tredje.
I båda fallen får vi en motsägelse, och följaktligen är mängden omätbar; det vill säga åtgärdsfunktionen gäller inte.
Observera att konstruktionen av detta, liksom alla andra exempel på en icke-mätbar uppsättning på ett segment, skulle vara omöjlig utan att acceptera valets axiom (det skulle vara omöjligt att välja en representant i varje ekvivalensklass).
I sina föreläsningar om integration och sökandet efter primitiva funktioner (1904) uttalade Henri Lebesgue att hans mål var att hitta ett (icke-negativt) mått på den verkliga linjen som skulle existera för alla avgränsade uppsättningar och uppfylla tre villkor:
Lebesgues konstruktion täckte en stor klass av uppsättningar av reella tal och definierade en uppsättning mätbara funktioner , bredare än uppsättningen av analytiska funktioner . Dessutom tillät varje mätbar funktion användningen av många analytiska metoder. Vid denna tidpunkt fanns det redan en allmän måttteori utvecklad av E. Borel (1898), och de första verken av Lebesgue baserades på Borel-teorin. Men i Lebesgues avhandling (1902) generaliserades måttteorin i huvudsak till "Lebesgue-måttet". Lebesgue definierade begreppen avgränsade mätbara funktioner och integraler för dem, bevisade att alla "vanliga" avgränsade funktioner som studeras i analys är mätbara och att klassen av mätbara funktioner är stängd under grundläggande analytiska operationer, inklusive operationen av passage till gränsen . 1904 generaliserade Lebesgue sin teori genom att ta bort begränsningsvillkoret för en funktion.
Redan nästa år (1905) visade J. Vitali att ett mått som uppfyller de tre villkoren ovan inte täcker alla avgränsade reella mängder: han konstruerade en mängd som inte har ett mått med de angivna egenskaperna. Dessutom, 1914, bevisade Hausdorff att även om vi ersätter kravet på räknebar additivitet med ett svagare tillstånd av ändlig additivitet, så hittar vi fortfarande avgränsade icke-mätbara mängder i tredimensionellt rymd. För en rak linje, som Banach upptäckte 1923, existerar en universell finitely additiv åtgärd och är inte ens unik [2] .
Lebesgues forskning fann ett brett vetenskapligt svar, de fortsatte och utvecklades av många matematiker: E. Borel , M. Ries , J. Vitali , M. R. Fréchet , N. N. Luzin , D. F. Egorov och andra. Begreppet konvergens introducerades enligt mått ( 1909).
Lebesgues verk hade en annan viktig begreppsmässig betydelse: de var helt baserade på Cantors mängdlära , som var kontroversiell under dessa år , och fruktbarheten i Lebesgues teori fungerade som ett starkt argument för att acceptera mängdlära som grunden för matematiken.
Integralkalkyl | ||
---|---|---|
Main | ||
Generaliseringar av Riemann-integralen | ||
Integrerade transformationer |
| |
Numerisk integration | ||
måttteori | ||
Relaterade ämnen | ||
Listor över integraler |