Kvantifierare

En kvantifierare är ett allmänt namn för logiska operationer som begränsar omfattningen av sanningen för ett predikat och skapar ett påstående . Oftast nämns:

Universell kvantifierare (beteckning:, lyder: "för alla ...", "för varje ...", "för alla ..." eller "varje ...", "alla ...", "alla .. ."). $\för alla$
Existenskvantifierare (beteckning:, läs: "det finns ..." eller "det finns ..."). $\existerar$

I matematisk logik kallas tilldelningen av en kvantifierare till en formel bindning eller kvantifiering .

I många värderade logiker introduceras även andra kvantifierare, till exempel pluralitetskvantifieraren (Rescher-kvantifierare) (betecknad med en inverterad M , läs "för majoriteten ...").

Exempel

Beteckna predikatet " x är delbart med 9". Med den universella kvantifieraren kan man formellt skriva följande påståenden (naturligtvis falska): $P(x)$

alla naturliga tal är en multipel av 9;
varje naturligt tal är en multipel av 9;
alla naturliga tal är multiplar av 9;

på följande sätt:

(\forall x\in {\mathbb {N}})P(x)

Följande (redan sanna) påståenden använder den existentiella kvantifieraren :

det finns naturliga tal som är multiplar av 9;
det finns ett naturligt tal som är en multipel av 9;
minst ett naturligt tal är en multipel av 9.

Deras formella notation är:

(\exists x\i {\mathbb {N}})P(x)

Introduktion till konceptet

Låt predikatet : "Ett primtal är udda" ges på uppsättningen av primtal. Byt ut ordet "vilket som helst" före detta predikat. Vi får det falska påståendet "alla primtal är udda" (detta påstående är falskt, eftersom 2 är ett jämnt primtal). $X$ $P(x)$ $x$ $x$

Genom att ersätta ordet "finns" före detta predikat får vi det sanna påståendet "Det finns ett primtal som är udda" (till exempel ). $P(x)$ $x$ $x=3$

Det är alltså möjligt att förvandla ett predikat till ett påstående genom att före predikatet sätta orden ("allt", "finns" och andra), som kallas kvantifierare i logiken.

Kvantifierare i matematisk logik

Påståendet innebär att variabelns intervall ingår i sanningsintervallet för predikatet . $\förallt xP(x)$ $x$ $P(x)$

("För alla värden är påståendet sant"). $x$

Uttalandet betyder att sanningsområdet för predikatet inte är tomt. $\existerar xP(x)$ $P(x)$

("Det finns där påståendet är sant"). $x$

Fria och bundna variabler

Uppsättningen av fria variabler* av formeln F definieras rekursivt enligt följande:

Fria variabler.

Alla variabler som ingår i en atomformel är fria variabler med denna formel,
de fria variablerna i formeln F är de fria variablerna i formeln ¬F,
variabler som är fria för minst en av formlerna F eller G är fria variabler av formeln (F D G),
alla fria variabler med formeln F utom v är fria variabler med formeln Kv F.

sluten formel.

En formel utan fria variabler kallas en sluten formel, eller en mening.

Associerad variabel.

Variabeln v är bunden i en formel F om F innehåller en förekomst av Kv, där K är en kvantifierare.

Bundet byta namn, fritt byta namn

Operationer på kvantifierare

Kvantifieringsnegeringsregeln används för att konstruera negationer av påståenden som innehåller kvantifierare och har formen:

$\linte (\förall x)P(x)=(\finns x)\linte P(x)$
$\linte (\finns x)P(x)=(\förall x)\linte P(x)$

Utseendehistorik

Filosofer har länge uppmärksammat logiska operationer som begränsar omfattningen av ett predikats sanning, men har inte pekat ut dem som en separat klass av operationer. Så, Thomas Hobbes trodde att de är delar av namn [1] .

Även om kvantifieringslogiska konstruktioner används i stor utsträckning både i vetenskapligt och i dagligt tal, ägde deras formalisering rum först 1879 , i Freges bok "The Calculus of Concepts". Freges notation såg ut som krångliga grafiska konstruktioner och accepterades inte. Därefter föreslogs många fler framgångsrika symboler, men beteckningen för existenskvantifieraren (inverterad första bokstav i engelska Exists - existerar), föreslog av Charles Pierce 1885 , och för den allmänna kvantifieraren ( tyska: Alle $\existerar$ $\för alla$ - "allt", "alla"), bildad av Gerhard Gentzen 1935 i analogi med symbolen för den existentiella kvantifieraren. Termerna "kvantifierare", "kvantifiering" föreslogs också av Peirce.

Anteckningar

↑ "Men orden: vilka som helst, vilka som helst, några, etc., som indikerar den allmänna eller speciella betydelsen av andra ord, är inte namn, utan bara delar av namn." (Thomas Hobbes "On the Body")

Litteratur

Kleene S. K. Introduktion till metamathematics, övers. från English, M., 1957, sid. 72-80, 130-138
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematisk logik. Ed. 3:a, stereotypt. — M.: KomKniga, 2006. — 240 sid.
Novikov PS Element av matematisk logik. — M.: Nauka, 1973. — 400 sid.
Church A. Introduktion till matematisk logik, övers. från engelska, vol. 1, M., 1960, sid. 42-48.

Länkar

kvantifierare

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 11931538s GND : 4128275-9 J9U : 987007536007505171 LCCN : sh85056323