Kollaps (geometri)

En kollaps är en typ av sekvens av utrymmen, vanligtvis Riemannska grenrör , som väsentligt förändrar den lokala strukturen (i synnerhet förlorar dimensionen) när den passerar till gränsen.

Definition

Det finns flera icke-likvärdiga definitioner av kollaps.

Via fyllningsradie

En sekvens av slutna Riemannska grenrör kollapsar om deras fyllnadsradier tenderar till noll.

Genom dimensionell förlust

Antag att en sekvens av dimensionella Riemannska grenrör har krökning avgränsad nedanför och konvergerar till ett Alexanderutrymme i Gromov-Hausdorffs mening . Om, i det här fallet, dimensionen är strikt mindre än , då sägs det att den kollapsar till . $m$ $M_{n}$ $A$ $A$ $m$ $M_{n}$ $A$

Skillnaden kallas kollapsens kodimension. $m-\dim A$

Exempel

En sekvens av platt tori som är isometrisk med produkten av en längdcirkel och enhetscirkeln kollapsar till enhetscirkeln. I detta fall konvergerar sekvensen till en cirkel i Gromov-Hausdorffs mening . $T_{n}$ ${\tfrac {1}{n))$ $T_{n}$

Egenskaper

Antag att en sekvens av enkelt anslutna dimensionella Riemannska grenrör med sektionskurvaturer kollapsar med kodimension . Medger sedan en effektiv verkan av -dimensionell torus för alla stora banor med en diameter som tenderar mot noll. $m$ $M_{n}$ $|K(M_{n})|\leq 1$ $k$ $M_{n}$ $k$ $n$

Se även

Ett nästan platt grenrör är ett grenrör som tillåter en sekvens av Riemannska mått av avgränsad krökning som kollapsar till en punkt.

Litteratur

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrisk geometrikurs. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .