Gromov-Hausdorff-metrik

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 oktober 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Gromov-Hausdorff-måttet är ett sätt att bestämma avståndet mellan två kompakta metriska utrymmen . Mer exakt är det ett mått på uppsättningen av isometriska klasser av kompakta metriska utrymmen.

Detta mått introducerades av Edwards 1975 [1] [2] och återupptäcktes och generaliserades sedan av M. L. Gromov 1981 [3] . Gromov använde detta mått i sitt bevis på satsen om grupper av polynomtillväxt .

Definition

Gromov-Hausdorff-avståndet mellan isometriska klasser av kompakta metriska utrymmen och definieras som det minsta infimum av Hausdorff-avstånden mellan deras bilder under globalt isometriska inbäddningar och i ett gemensamt metriskt utrymme . I detta fall tas infimumet både över alla globalt isometriska inbäddningar och över alla utrymmen . $X$ $Y$ $X\hookrightarrow Z$ $Y\hookrightarrow Z$ $Z$ $Z$

På motsvarande sätt kan man definiera Gromov-Hausdorff-avståndet som det minsta infimum av Hausdorff-avstånden mellan och i en osammanhängande förening utrustad med ett mått så att begränsningen på sammanfaller med metrisk på och begränsningen på sammanfaller med metrisk på . I det här fallet tas den exakta nedre gränsen över alla sådana mätvärden . $X$ $Y$ $X\sqcup Y$ $\rho$ $\rho$ $X$ $X$ $\rho$ $Y$ $Y$ $\rho$

Kommentarer

Ofta utelämnas orden "isometrisk klass", det vill säga istället för "avståndet Gromov-Hausdorff mellan de isometriska klasserna och " de säger "avståndet Gromov-Hausdorff mellan och ". $X$ $Y$ $X$ $Y$
Avståndet mellan isometriska klasser och betecknas vanligtvis med eller . $X$ $Y$ $d_{GH}(X,Y)$ $|X,Y|_{GH}$
Uppsättningen av isometriska klasser av kompakta metriska utrymmen utrustade med Gromov-Hausdorff-metriken betecknas vanligtvis , eller . $GH$ ${\mathcal {M}}$ $\mathfrak{M}$
En riktig klass av metriska utrymmen som anses upp till isometrier betecknas med . ${\mathcal {GH))$

Relaterade definitioner

En sekvens av isometriska klasser av kompakta metriska utrymmen konvergerar till en isometrisk klass av ett kompakt metriskt utrymme om $X_n$ ${\displaystyle X_{\infty ))$ $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\till 0$ $n\till\infty$

Egenskaper

Det metriska utrymmet är väganslutet , komplett , separerbart . $GH$
- Dessutom är en
geodetisk [4] ; det vill säga två av dess punkter är förbundna med en kortaste kurva, vars längd är lika med avståndet mellan dessa punkter. $M$

Gromov-Hausdorff-utrymmet är globalt inhomogent; det vill säga dess isometrigrupp är trivial [5] , men lokalt finns det många icke-triviala isometrier [6] .

GH

Utrymmet är isometriskt till rymden av kongruensklasser av kompakta delmängder av Urysohn-utrymmet med Hausdorff-metriken upp till rörelse . [7]

GH

{\mathcal {U}}

{\mathcal {U}}

Varje helt enhetligt avgränsad familj av metriska utrymmen är relativt kompakt i Gromov-Hausdorff-metriken.

En familj av metriska utrymmen sägs vara helt likformigt avgränsad om diametrarna för alla utrymmen i denna familj är begränsade av samma konstant, och för alla finns det ett positivt heltal så att varje utrymme från släpper in ett -nätverk av högst punkter. $X$ $\varepsilon >0$ $N(\varepsilon)$ $X$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon)$
Denna egenskap antyder i synnerhet Gromovs kompakthetsteorem , som är analog med Blaschkes valsats för Hausdorff-metriken.

Variationer och generaliseringar

I definitionen är det möjligt att ersätta kompakthet med diameterns ändlighet, men i det här fallet kommer vi att definiera metriken på en klass av objekt (och inte på en uppsättning). Det vill säga formellt sett är klassen av alla isometriska klasser av metriska utrymmen med ändlig diameter , utrustade med Gromov-Hausdorff-metriken, inte ett metriskt utrymme.
Om vi låter metriken ta värdet , kan vi också vägra ändligheten av diametern. $\infty$

Anteckningar

↑ D. Edwards, " The Structure of Superspace Archived March 4, 2016 at the Wayback Machine ", i "Studies in Topology", Academic Press, 1975
↑ A. Tuzhilin, " Vem uppfann avståndet Gromov-Hausdorff?" Arkiverad 20 december 2016 på Wayback Machine (2016)", arXiv: 1612.00728
↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques IHÉ.S. , 53, 1981 Arkiverad 29 november 2016.
↑ A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic , arXiv:1504.03830 , < http://arxiv.org/pdf/1504.pdf388 >
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space , arXiv:1806.02100 , < https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf > Arkiverad 13 juni 2018 på Wayback Machine
↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position , arXiv:1611.04484 , < https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf > Arkiverad den 13 2018 på Wayback Machine
↑ A. Petrunin. Ren metrisk geometri : inledande föreläsningar . — 2020. arXiv : 2007.09846

Litteratur

M. Gromov . Structures métriques pour les variétés riemanniennes, redigerad av Lafontaine och Pierre Pansu, 1981.
M. Gromov. Metriska strukturer för riemannska och icke-riemannska rum , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (översättning med ytterligare innehåll).
Burago D. Yu., Burago Yu. D., Ivanov S. V. En kurs i metrisk geometri. - M., Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .