Urysohn utrymme

Urysohn-rummet är ett metriskt rum , universellt i en viss mening. Betecknas vanligtvis . $\mathbb {U}$

Definition

Urysohn-utrymmet är ett komplett separerbart metriskt utrymme med följande två egenskaper: $\mathbb {U}$

Universalitet: varje ändligt metriskt utrymme är isometriskt för någon delmängd . $\mathbb {U}$
Finit homogenitet: för två ändliga isometriska delmängder av den sträcker sig all isometri mellan dem till en global isometri . $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ $\mathbb {U}$

Notera

På motsvarande sätt kan Urysohn-utrymmet definieras som ett komplett separerbart metriskt utrymme som har förlängningsegenskapen; det vill säga vilken isometrisk mappning som helst från en delmängd av ett ändligt metriskt utrymme kan utökas till en isometrisk mappning . $\mathbb {U}$ $A\to \mathbb {U}$ $A$ $F$ $F\to \mathbb {U}$

Egenskaper

Urysohn-rummet finns och är unikt upp till isometri. $\mathbb {U}$

Urysohn-utrymmet är kompakt homogent . Det vill säga, vilken isometrisk mappning som helst av en kompakt delmängd i kan utökas till en isometri . $\mathbb {U}$ $K\subset \mathbb {U}$ $U$ $\mathbb {U}$

Urysohn-rummet är homeomorft till produkten av ett räknebart antal reella linjer. [ett] $\mathbb {U}$

Under någon naturlig procedur för att generera ett slumpmässigt fullständigt separerbart metriskt utrymme, visar sig det resulterande utrymmet nästan säkert vara isometriskt för Urysohn-utrymmet.
- Denna egenskap är analog med den grundläggande egenskapen hos Rado-Erdős-Rényi-grafen .

Historik

Maurice Fréchet bevisade att rymden är $\ell ^{\infty }$ universell, det vill säga att den innehåller en isometrisk kopia av varje separerbart metriskt utrymme. Men till skillnad från Urysohn-utrymmet är det varken ändligt homogent eller separerbart. Han tog upp frågan om förekomsten av ett avskiljbart utrymme med denna fastighet. Ett sådant utrymme byggdes av Pavel Samuilovich Uryson . [2] $\ell ^{\infty }$

Miroslav Katetov gav ett positivt svar på frågan från Uryson om förekomsten av ett ofullständigt universellt ändligt homogent utrymme . [3] I samma artikel ges en något förenklad konstruktion av Urysohn-utrymmet.

Anteckningar

↑ V. Uspenskij. "Urysohns universella metriska utrymme är homeomorft till ett Hilbert-rum." TopologiAppl. 139.1-3 (2004), 145-149.
↑
- "Sur un espace metrique universel" Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), s. 803 (kort kommunikation)
- "Sur un espace metric universel" Bull, de Sciences Mathematiques, 2nd series, vol. 51, s. 1-38.
  - Översättning: Uryson, PS "På det universella metriska utrymmet." PS Uryson. Arbetar med topologi och andra områden inom matematiken. M: 747-777.
↑ M. Kattov. "På universella metriska utrymmen". Allmän topologi och dess relationer till modern analys och algebra, VI (Prag, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Matematik. Heldermann, Berlin 1988, 323–330.

Länkar

S. A. Bogatyi, Compact homogeneity of Uryson's universal metric space , Russian Math .

A. M. Vershik , Ett slumpmässigt metriskt utrymme är ett Urysohn-utrymme, Dokl. RAN , 387 :6 (2002), 733-736

A. M. Vershik, Universality and Randomness in Geometry and Analysis , videoinspelning av en föreläsning den 28 september 2006 vid All-Institute Seminar "Mathematics and Its Applications" av Mathematical Institute. V. A. Steklov RAS.

A. M. Vershik, Random metric spaces and universality , Uspekhi Mat . Nauk , 59 :2(356) (2004), 65-104.

J. Melleray, Några geometriska och dynamiska egenskaper hos Urysohn-rummet. TopologiAppl. 155 (2008), nr. 14, 1531–1560.