Popovs kriterium

Popov-kriteriet är ett villkor för den absoluta stabiliteten hos ett olinjärt styrsystem med en olinjäritet som ligger i en sektor.

Formuleringen av kriteriet

Följande kontrollsystem anses [1] :

{\dot {x}}=Ax+Bu,

y=Cx,

u=-\psi (y),

där , , är matriser med lämpliga dimensioner, är en icke-linjär funktion med värden i . Det antas att $x \in \mathbb{R}^n$ $u,y\in \mathbb {R}$ $A,B,C$ $\psi$ $\mathbb {R}$

matrisen är Hurwitz , $A$
par hanterbart , $(A,B)$
par observerbart , $(A,C)$
funktionen ligger i sektorn för något positivt tal , dvs. $\psi$ $[0,k]$ $k$

\psi (y)[\psi (y)-ky]\leqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .

Sedan om det finns ett sådant icke-negativt tal att talet inte är ett egenvärde och $\eta$ $-1/\eta$ $A$

{\mbox{Re}}\left(1+(1+i\eta \omega )kG(i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} ,

där är systemets överföringsfunktion , då är systemet absolut stabilt, det vill säga det är enhetligt asymptotiskt stabilt med all olinjäritet som uppfyller sektorvillkoret [2] [3] . $G(s)=C(sE-A)^{-1}B$ $\psi$

Med hjälp av formeln kan du få den angivna olikheten till följande form: $G(i\omega )={\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)+i{\mbox{Im}}\left(G(i\omega )\right)$

{\dfrac {1}{k}}+{\mbox{Re}}\left(G(i\omega )\right)-\eta \omega {\mbox{Im}}\left(G( G( i\omega )\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .

Om du bygger en graf av den vänstra sidan av ojämlikheten som en funktion av , använder som abskissaxeln och som ordinataaxeln , så kommer olikheten att uppfyllas om grafen ligger till höger om den räta linjen som går genom punkten med lutningskoefficient . Denna representationsmetod kallas Popov -hodografen (jämför med Nyquist-hodografen ) [4] . $\omega$ ${\mbox{Re}}\left(G(i\omega)\right)$ $\omega {\mbox{Im}}\left(G(i\omega)\right)$ $(-1/k,0)$ $1/\eta$

Anteckningar

↑ Khalil, 1996 , sid. 400.
↑ Khalil, 1996 , sid. 403.
↑ Khalil, 1996 , sid. 421.
↑ Khalil, 1996 , sid. 422.

Litteratur

Khalil, H.K. Ickesystem . — 2:a uppl. - Upper Saddle River, NJ:Prentice Hall, 1996. -ISBN 0-13-228024-8.

Se även

cirkulärt kriterium