Ford cirklar

Ford -cirklar är cirklar centrerade vid punkter med koordinater och radier , där är en irreducerbar bråkdel . Varje Ford-cirkel tangerar den horisontella axeln och två cirklar rör antingen varandra eller skär varandra inte. [ett] $(p/q,1/(2q^{2}))$ $1/(2q^{2})$ $p/q$ $y=0$

Historik

Ford-cirklar är ett specialfall av ömsesidigt tangerande cirklar. System av ömsesidigt tangerande cirklar studerades av Apollonius av Perga , efter vilken Apollonius-problemet och Apollonius- rutnätet är uppkallade . Under 1700-talet bevisade Descartes Descartes sats - förhållandet mellan de ömsesidiga radierna hos ömsesidigt tangentiella cirklar [2] .

Ford-cirklar är uppkallade efter den amerikanske matematikern Lester Ford Sr. , som skrev om dem 1938 [1] .

Egenskaper

Ford-cirkeln som motsvarar bråkdelen betecknas som eller . Varje rationellt tal motsvarar en Ford-cirkel. Dessutom kan halvplanet också betraktas som en degenererad Ford-cirkel med oändlig radie, motsvarande ett par siffror . $p/q$ $C[p/q]$ $C[p,q]$ $y\geqslant 1$ $p=l,q=0$

Två distinkta Ford-cirklar korsar sig antingen inte alls eller rör vid varandra. Inga två Ford-cirklar har inre områden som skär varandra, trots att en Ford-cirkel vid varje punkt på abskissaxeln, som har en rationell koordinat, berör denna axel. Om , då kan uppsättningen av Ford-cirklar som berörs beskrivas på något av följande sätt: $0<p/q<1$ $C[p/q]$

cirklar , där , [1] $C[r/s]$ $|ps-qr|=1$
cirklar där bråk är intill i någon Farey-serie , [1] eller $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$
cirklar , där är närmaste mindre eller närmaste större förfader i Stern-trädet - Broko , eller är närmaste mindre eller större förfader . [ett] $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$ $p/q$ $r/s$

Ford-cirklar kan också ses som regioner i det komplexa planet . Den modulära transformationsgruppen i det komplexa planet kartlägger Ford-cirklar till andra Ford-cirklar. [ett]

Om man tolkar den övre halvan av det komplexa planet som en modell av det hyperboliska planet ( Poincaré- halvplansmodellen ), så kan Ford-cirklar tolkas som att det hyperboliska planet beläggs med horocykler . Alla två Ford-cirklar är kongruenta i hyperbolisk geometri. [3] Om och är tangenter till Ford-cirklar, så är halvcirkeln som går genom punkterna och och vinkelrät mot abskissaxeln en hyperbolisk linje som också passerar genom tangentpunkten för två Ford-cirklar. $C[p/q]$ $C[r/s]$ $(p/q,0)$ $(r/s,0)$

Fords cirklar utgör en delmängd av cirklarna som utgör Apollonius-rutnätet, givet av linjerna och och cirkeln . [fyra] $y=0$ $y=1$ $C[0/1]$

Total area av cirklar

Det finns ett samband mellan den totala arean av Fords cirklar, Euler-funktionen , Riemann zeta-funktionen och Apérys konstant . [5] Eftersom inga två Ford-cirklar skär varandra vid inre punkter, får vi omedelbart att den totala arean av cirklarna $\varphi$ $\zeta (3)$

\left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}<1\right\}

mindre än 1. Denna area ges av en konvergent summa som kan beräknas analytiskt. Per definition är den erforderliga arean lika med

A=\summa _{{q\geqslant 1}}\summa _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}\pi \left({\frac {1}{2q^{ 2}}}\höger)^{2}.

Förenkla detta uttryck får vi

A={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {1}{q^{4}}}\summa _{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {\varphi (q)}{q^{4} }}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4))),

där den sista likheten använder formeln för Dirichlet-serien med koefficienter som ges av Euler-funktionen . Eftersom , som ett resultat får vi $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$

A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0,872284041.

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 Ford L. R. Bråk // American Mathematical Monthly . - 1938. - Vol. 45 , nr. 9 . - s. 586-601 . - doi : 10.2307/2302799 . , MR : 1524411 .
↑ G. Coxeter, The problem of Apollonius // American Mathematical Monthly . - 1968. - Vol. 75 . — S. 5–15 . - doi : 10.2307/2315097 . MR : 0230204 _
↑ Conway J. Kvadratiska former som ges till oss i sensation . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 sid. - 1000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
↑ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apolloniska cirkelpackningar: talteori // Journal of Number Theory . - 2003. - Vol. 100 , nej. 1 . — S. 1–45 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00015-5 . - arXiv : math.NT/0009113 . MR : 1971245 . _
↑ Marszalek W. Kretsar med oscillerande hierarkiska Farey-sekvenser och fraktala egenskaper // Kretsar, system och signalbehandling. - 2012. - Vol. 31 , nr. 4 . - P. 1279-1296 . - doi : 10.1007/s00034-012-9392-3 . .

Se även

Externa länkar

Fords rörande cirklar
Weisstein, Eric W. Ford Circle (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .