Mohrs cirkel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 maj 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Mohr-cirkeln är en grafisk representation av normala spänningar och skjuvspänningar utvecklad av professor Otto Mohr (1835-1918). [1] .

Mohr-cirkeln kan också användas för att hitta huvudplanen och huvudspänningarna i den grafiska representationen, och detta är ett av de enklaste sätten att göra detta. [2]

Historik

Den första personen som skapade en grafisk spänningsrepresentation för de längsgående och tvärgående spänningarna hos en böjande horisontell balk var Karl Kuhlmann . Mohrs bidrag är att använda detta tillvägagångssätt för plana och bulkspänningstillstånd och att definiera ett hållfasthetskriterium baserat på spänningscirkeln [3] .

Fysisk betydelse

Inre krafter uppstår mellan partiklarna i en kontinuerlig deformerbar kropp som en reaktion på applicerade yttre krafter: yta och volym . Denna reaktion överensstämmer med Newtons andra lag tillämpad på partiklar av materiella föremål. Storleken på intensiteten hos dessa inre krafter kallas mekanisk spänning . Eftersom kroppen anses vara solid, fördelas dessa inre krafter kontinuerligt över hela volymen av föremålet i fråga.

Inom teknik bestäms fördelningen av spänningar i ett objekt genom analys av dess spänning-töjningstillstånd för att erhålla spänningsvärden vid varje materialpunkt i objektet. Enligt Cauchy bestäms spänningen vid vilken punkt som helst av en fast materialkropp helt av de nio spänningskomponenterna i spänningstensorn , : $\sigma_{ij}$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}& \sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matris}}\höger]\equiv \left [{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\ \\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}& \tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy} &\sigma _{z}\\\end{matris}}\höger]

När spänningsfördelningen har bestämts med avseende på koordinatsystemet , kan det vara nödvändigt att bestämma komponenterna i spänningstensorn vid en viss materialpunkt med avseende på det roterade koordinatsystemet , det vill säga spänningarna som verkar på en plats med olika riktningar som passerar genom punkten av intresse för oss. Det kan till exempel vara nödvändigt att hitta den maximala normalspänningen eller den maximala skjuvspänningen och i vilken riktning de verkar. För att lösa detta problem är det nödvändigt att transformera spänningstensorn. Den grafiska representationen av denna spänningstensortransformation är Mohr-cirkeln. $(x,y)$ $P$ $(x',y')$

Mohrs cirkelekvationer

För att erhålla Mohr-cirkelekvationen för ett plant spänningstillstånd betraktas en tvådimensionell infinitesimal materialkropp, placerad runt en materialpunkt med en enhetsarea i en riktning parallell med planet - , det vill säga vinkelrät mot betraktaren. $P$ $y$ $z$

Baserat på jämviktsförhållandena för en oändligt liten materialkropp är värdena för normalspänning och skjuvspänning lika med: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +{\frac {1}{2}}\tau _{xy}\sin 2\theta

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +{\frac { 1}{2}}\tau _{xy}\cos 2\theta

Dessa två ekvationer är en parametrisk representation av Mohr-cirkeln.

Härledning av Mohr-cirkelns parametriska ekvationer

Betrakta jämviktsförhållandena för ett triangulärt prisma som bildas genom att skära en elementär parallellepiped med en lutande plattform. Den normala stressen verkar på ett område av området . Från likheten mellan projektionerna av krafter på axeln (axeln ) får vi: ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ $dA$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} ))$ $x'$

\ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _ {y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \ theta \cos \theta \\\end{aligned}}

Det är känt att

\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2)),\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\ theta }{2}},\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Då kan du få

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta

Skjuvspänning verkar också på en plats med en yta på . Från likheten mellan projektionerna av krafter på axeln (axeln ) får vi: ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $dA$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $y'$

\ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{ y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _ {\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\ theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}

Det är känt att

\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta ,\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Då kan du få

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{ xy}\cos 2\theta

Anteckningar

↑ Keaton JR (2018) Mohr Circle. I: Bobrowsky PT, Marker B. (red) Encyclopedia of Engineering Geology. Encyclopedia of Earth Sciences-serien. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73568-9_206
↑ Huvudspänning och huvudplan . www.engineeringapps.net . Hämtad 25 december 2019. Arkiverad från originalet 25 december 2019. (obestämd)
↑ Parry, Richard Hawley Grey. Mohrcirklar, stressbanor och geoteknik . - 2. - Taylor & Francis , 2004. - S. 1-30. - ISBN 0-415-27297-1 .