Metod för direkt tillämpning av Kirchhoffs lagar

Metoden för direkt tillämpning av Kirchhoffs regler för beräkning av en elektrisk krets består i att sammanställa ett system av B-ekvationer med B okända (B är antalet grenar i den aktuella kretsen) enligt två Kirchhoff-regler och deras efterföljande lösning.

Beskrivning av beräkningsmetoden

Tänk på beräkningen av en elektrisk krets som inte innehåller strömkällor . Kedjan i fråga består av B - grenar och Y -noder. Dess beräkning reduceras till att hitta strömmar i B -grenar. För att göra detta är det nödvändigt att komponera ( Y - 1) oberoende ekvationer enligt den första Kirchhoff-regeln och K \u003d ( B - Y + 1) oberoende ekvationer enligt den andra Kirchhoff-regeln . Noderna och konturerna som motsvarar dessa ekvationer kallas oberoende (det vill säga innehåller minst en gren som inte tillhör andra noder/konturer).

För att lösa det kompilerade systemet med linjära algebraiska ekvationer kan du använda matrisformen

AI=BE

var

A

och är kvadratiska matriser av koefficienter vid strömmar och EMF av ordningen B ;

B

jag

och är kolumnmatriser med okända strömmar och given EMF.

E

Systemlösning:

I=A^{-1}BE=GE

$A^{{-1}}$	$={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1B}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2B}\\\vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\a_{B1}&a_{B2}&\cdots &a_{BB}\end{bmatrix}}^{-1}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\cdots &\Delta _{1B}\\\Delta _{ 21}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{B1}&\Delta _{B2}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}^{T}=$
	$={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{B1}\\\Delta _{ 12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{B2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1B}&\Delta _{2B}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}$

- invers matris; är determinanten för matrisen A ; - algebraiska komplement av element (se sätt att hitta den inversa matrisen ). $\Delta$ $\Delta _{ik}$ $a_{{ik}}$

G=A^{-1}B={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots &g_{1B}\\g_{21}&g_{22}&\cdots &g_{2B }\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\g_{B1}&g_{B2}&\cdots &g_{BB}\end{bmatrix}}

är matrisen av inneboende och ömsesidiga konduktiviteter (se superpositionsmetod ). ${\displaystyle g_{ii))$ $g_{{ik}}$

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+\cdots +g_{1B}E_{B};\\ I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+\cdots +g_{2B}E_{B};\\\vdots \\I_{B}=g_{B1} E_{1}+g_{B2}E_{2}+\cdots +g_{BB}E_{B};\end{matris}}\right.

är ett ekvationssystem som bestämmer grenströmmarna.

Ofta, när man beräknar kretsar med denna metod, blir det nödvändigt att kompilera ett stort antal ekvationer och sedan beräkna matriser av hög ordning. Därför används andra beräkningsmetoder i praktiken.

Ett exempel på användning av

Som ett exempel, överväga beräkningen av kretsen, vars diagram visas i figuren - den innehåller U \u003d 2 noder och B \u003d 3 grenar, det vill säga K \u003d B - Y + 1 \u003d 3 - 2 + 1 \u003d 2 oberoende konturer (i figuren är konturerna markerade med en streckad linje - du kan välja vilket par som helst av dem - 1 och 2 , eller 2 och 3 , eller 1 och 3 ).

Vi väljer godtyckligt de positiva riktningarna för grenströmmarna , , (riktningarna är redan markerade i figuren). Enligt den första Kirchhoff-lagen kan en ( Y − 1 = 2 − 1 = 1 ) oberoende ekvation sammansättas, till exempel för nod a $I_1$ $I_{2}$ $I_3$

-I_{1}-I_{2}+I_{3}=0

och enligt den andra Kirchhoff-lagen - två (K = 2) oberoende ekvationer, till exempel för kretsarna 1 och 2

{\displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2))

;

{\displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3))

Låt oss representera systemet av dessa tre ekvationer i matrisform:

{\begin{matrix}Y-1&\left\{~\right.\\K&\left\{{\begin{matrix}~\\~\end{matrix}}\right.\end{matris }}{\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_ {2}\\I_{3}\end{bmatrix}}=AI={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_ {2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=BE

eller

${\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}$	$={\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))){\begin{bmatrix}- r_ {2}r_{3}&-r_{1}r_{3}&r_{1}r_{2}\\-(r_{2}+r_{3})&r_{3}&-r_{2} \ \r_{3}&-(r_{1}+r_{3})&-r_{1}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end { bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}r_{3}&r_{2}+r_{3}&-r_{3}\\r_ {1}r_{3}&-r_{3}&r_{1}+r_{3}\\-r_{1}r_{2}&r_{2}&r_{1}\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=$
	$={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}+r_{3}&-r_{3}&r_{2}\\-r_{3} &r_{1}+r_{3}&r_{1}\\r_{2}&r_{1}&r_{1}+r_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\ E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=[G][E].$

Nu komponerar vi ett system av nuvarande ekvationer:

\left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};\\I_{2 }=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};\\I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_ {2}+g_{33}E_{3},\end{matris}}\höger.

var

g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}

;

{\displaystyle g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2))

;

{\displaystyle g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2))

;

{\displaystyle g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2))

;

{\displaystyle g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2))

;

{\displaystyle g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2))

;

{\displaystyle r={\sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3))))

Beräkning av kretsar med strömkällor

Vid beräkning av ekvivalenta kretsar med strömkällor är förenklingar möjliga, eftersom strömmarna för grenar med strömkällor är kända och de behöver inte beräknas. Därför är antalet oberoende kretsar (utan strömkällor), för vilka det är nödvändigt att komponera ekvationer enligt den andra Kirchhoff-lagen, lika med K \u003d (B - B - Y + 1), där B är antalet grenar med nuvarande källor. $_{J}$ $_{J}$

Litteratur

Elektroteknik: Proc. för universitet / A. S. Kasatkin, M. V. Nemtsov. - 7:e upplagan, Sr. - M .: Högre. skola, 2003. - 542 s.: ill. ISBN 5-06-003595-6

Metoder för beräkning av elektriska kretsar
direkt tillämpning av Kirchhoffs regler slingströmmar nodalpotentialer två noder koagulering Cauera motsvarande generator överlagringar komplexa amplituder avsnitt kretsdeterminanter klassisk operatör