Nodalpotentialmetod

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 september 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Metoden för nodpotentialer är en formell metod för att beräkna elektriska kretsar genom att skriva ett system av linjära algebraiska ekvationer där potentialerna vid kretsens noder är okända . Som ett resultat av att tillämpa metoden bestäms potentialerna i alla noder i kretsen, liksom, om nödvändigt, strömstyrkan i alla kanter (grenar).

Introduktion

Ofta är beräkningen av en elektrisk krets ett nödvändigt steg för att lösa en mängd olika problem inom elektroteknik och elektronik . Denna term hänvisar till processen att erhålla fullständig information om spänningarna i alla noder och om strömmarna i alla kanter av en given elektrisk krets. För att beräkna en linjär krets räcker det att skriva ner det nödvändiga antalet ekvationer, som är baserade på Kirchhoffs regler och Ohms lag , och sedan lösa det resulterande ekvationssystemet.

Men i praktiken är det möjligt att skriva ner ett ekvationssystem helt enkelt från formen av ett kretsschema endast för mycket enkla kretsar. Om kretsen har mer än ett dussin element eller den innehåller många sammankopplade konturer (sektioner som broar ), krävs redan speciella tekniker för posten som definierar kretsen för ekvationssystemet. Dessa tekniker inkluderar metoden för nodpotentialer och metoden för slingströmmar .

Metoden med nodalpotentialer introducerar inget nytt i Kirchhoffs regler och Ohms lag. Denna metod formaliserar bara deras användning så att de kan tillämpas på vilken godtyckligt komplex krets som helst och är lämplig för beräkning med hjälp av beräkningar på datorer. Med andra ord ger metoden ett svar på frågan " hur man använder lagarna för att beräkna denna krets? ".

Teoretiska grunder

Om i en krets bestående av Y - noder och P -kanter är alla egenskaper hos länkarna kända (impedanserna R , storleken på EMF-källorna E och strömmen J ), så är det möjligt att beräkna strömmarna I i i alla kanter och potentialerna φ i i alla noder. Eftersom den elektriska potentialen är definierad upp till en godtycklig konstant term, kan potentialen vid en av noderna (låt oss kalla den basnoden) tas lika med noll, och potentialerna vid de andra noderna kan bestämmas i förhållande till basnoden . Vid beräkning av kretsen har vi alltså Y + P -1 okända variabler: Y -1 nodalpotentialer och P -strömmar i ribborna.

Alla dessa variabler är inte oberoende. Till exempel, baserat på Ohms lag för en kretssektion, bestäms strömmarna i länkarna helt av potentialerna vid noderna:

I_{i}={\frac {\varphi _{A}-\varphi _{B}+E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}.

Å andra sidan bestämmer strömmarna i ribborna unikt potentialfördelningen i noderna i förhållande till basnoden:

\varphi _{B}=\varphi _{A}+E_{i}+(J_{i}-I_{i})R_{i}.

Således är det minsta antalet oberoende variabler i kedjeekvationerna antingen antalet länkar eller antalet noder minus 1, beroende på vilket som är minst.

Vid beräkning av kretsar används oftast ekvationer som är skrivna utifrån Kirchhoffs regler. Systemet består av Y -1-ekvationer enligt 1:a Kirchhoff-regeln (för alla noder utom basen) och K - ekvationer enligt 2:a Kirchhoff-regeln för varje oberoende krets. De oberoende variablerna i ekvationerna som sammanställts enligt Kirchhoff-reglerna är länkströmmarna. Eftersom, enligt Euler-formeln för en plan graf , är antalet noder, kanter och oberoende konturer relaterade av relationen

Y-P+K=1,

eller

P=Y+K-1,

då är antalet ekvationer som sammanställts enligt Kirchhoffs regler lika med antalet variabler, och systemet är lösbart. Antalet ekvationer i Kirchhoff-systemet är dock redundant. En av metoderna för att minska antalet ekvationer är metoden för nodpotentialer. Variablerna i ekvationssystemet är Y -1 nodalpotentialer. Ekvationer skrivs för alla noder, utom för basen. Det finns inga ekvationer för konturer i systemet.

Ekvationen för potentialen i knop

Betrakta ett kedjefragment som består av en nod och länkar intill den (Fig. 1). Enligt den första Kirchhoff-regeln är summan av strömmarna i noden noll:

\sum _{i=1}^{n}I_{i}=0.

Strömmen i länken bestäms utifrån Ohms lag för kretssektionen:

I_{i}={\frac {\varphi _{i}-\varphi +E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}

var:

\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\varphi _{i}-\varphi +E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}\ höger)=0;

\varphi \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i))}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\varphi _ {i}}{R_{i}}}=\summa _{i=1}^{n}\left({\frac {E_{i}}{R_{i}}}+J_{i}\right ).

Betecknar kanternas konduktivitet genom

{\displaystyle Y_{i}={\frac {1}{R_{i))))

vi får den slutliga ekvationen för noden:

\varphi \sum _{i=1}^{n}Y_{i}-\sum _{i=1}^{n}\varphi _{i}Y_{i}=\sum _{i =1}^{n}(E_{i}Y_{i}+J_{i}).

Den sista ekvationen erhölls baserat på antagandet att alla strömkällor och EMF är riktade mot den betraktade noden. Om någon källa är riktad i motsatt riktning, måste dess EMF eller ström tas med motsatt tecken.

Efter att ha skrivit den sista ekvationen för varje nod i kedjan, förutom basen, får vi ett ekvationssystem för nodpotentialer.

Praktisk tillämpning

Rita upp ett ekvationssystem

Innan beräkningen påbörjas väljs en av noderna (basnoden), vars potential anses vara lika med 0. Därefter numreras noderna, varefter ekvationssystemet kompileras .

Ekvationer kompileras för varje nod, utom för basen. Till vänster om likhetstecknet står det:

potentialen för den betraktade noden, multiplicerad med summan av konduktiviteterna för kanterna intill den (konduktiviteterna för kanterna som innehåller strömkällor anses vara noll och beaktas inte);
minus potentialerna för noderna intill den givna, multiplicerat med konduktiviteterna hos de kanter som förbinder dem med den givna noden. Om en nod är ansluten till denna nod av en flank som innehåller en strömkälla, tas denna nod inte i beaktande.

Till höger om likhetstecknet står det:

summan av alla strömkällor intill denna nod;
summan av produkterna av alla elektromagnetiska fält som gränsar till en given nod och konduktiviteten hos motsvarande länk.

Om källan är riktad mot den övervägda noden, skrivs den med tecknet "+", annars - med tecknet "-". Glöm inte att konduktiviteten för en länk med en idealisk strömkälla kopplad i serie är 0.

Ett exempel på ett ekvationssystem

Det finns fyra noder i diagrammet (fig. 2). Potentialen vid nod 0 antas vara noll (φ 0 = 0). Vi skriver ner ekvationerna för noderna 1, 2 och 3:

${\begin{cases}\varphi _{1}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})+\varphi _{2}(-Y_{1})+\varphi _{ 3}(-Y_{6})=E_{6}Y_{6}-E_{4}Y_{4}\\\varphi _{1}(-Y_{1})+\varphi _{2}( Y_{1}+Y_{2}+Y_{3})+\varphi _{3}(-Y_{3})=0\\\varphi _{1}(-Y_{6})+\varphi _ {2}(-Y_{3})+\varphi _{3}(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})=J_{5}-E_{6}Y_{6}\end{ fall}},$

där kanternas konduktivitet är lika:

Y_{1}={\frac {1}{R_{1}}};\quad Y_{2}={\frac {1}{R_{2}}};\quad Y_{3}= {\frac {1}{R_{3}}};

Y_{4}={\frac {1}{R_{4}}};\quad Y_{5}={\frac {1}{R_{5}}};\quad Y_{6}= {\frac {1}{R_{6}}}.

Formell tillvägagångssätt

I matrisform ser ekvationssystemet för metoden för nodpotentialer ut så här [1] :

\mathbf {AYA^{t}U_{0}=-A(J+YE)}

var

${\mathbf A}$ är en anslutningsmatris av storlek ( q - 1) × p ( q är antalet noder, p är antalet kanter), där den i -te raden motsvarar noden i och den j -te kolumnen motsvarar kanten j , och elementet A ij är lika med:

0 om kant j inte är ansluten till nod i ;
1 om kanten lämnar noden;
−1 om kanten går in i noden.

Termerna "in" och "ut" betyder att varje kant ges en riktning som vanligtvis är associerad med strömriktningen i den kanten;

$\mathbf Y$ är en p × p diagonal matris av konduktiviteter , i vilken det diagonala elementet Y ii är lika med konduktiviteten för den i: te kanten, och de off-diagonala elementen är lika med noll;

${\displaystyle \mathbf {A} ^{t))$ är den transponerade matrisen av anslutningar;

$\mathbf {U} _{0}$ är en matriskolonn av nodpotentialer av storlek ( q - 1) × 1. Potentialer mäts i förhållande till en förvald nod, vars potential anses vara noll. Nollnoden ingår inte i någon av matriserna som listas i detta avsnitt;

$\mathbf {J}$ är en p × 1 kolumnmatris av strömkällor , där varje element är lika med strömmen för motsvarande källa, och detta värde är noll om det inte finns någon strömkälla i denna kant; positiv om källströmmens riktning sammanfaller med strömriktningen i kanten; och negativt annars;

$\mathbf {E}$ är en kolumnmatris av EMF-källor med storleken p × 1, där varje element är lika med EMF för motsvarande källa, och detta värde är noll om det inte finns någon EMF-källa i denna kant; positiv om riktningen för källans EMF sammanfaller med riktningen för strömmen i revbenet; och negativt annars.

Ett exempel på ett ekvationssystem

För schemat i fig. 2 matriser ser ut som:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&0&1&0&-1\\-1&1&1&0&0&0\\0&0&-1&0&-1&1\end{pmatrix));\quad \mathbf {U} _{0}={\ börja{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} ^{t}={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&1&-1\\1&0&0\\0&0&-1\\-1&0&1\\\end{pmatrix)) ;\quad \mathbf {Y} ={\begin{pmatrix}Y_{1}&0&0&0&0&0\\0&Y_{2}&0&0&0&0\\0&0&Y_{3}&0&0&0\\0&0&0&Y_{4}&0&0\\0&0_\}&0&0\\0&0_\} 0&0&0&0&0&Y_{6}\\\end{pmatrix));\quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\J_{5}\\0\end{pmatrix ));\quad \mathbf {E} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\0\\E_{6}\end{pmatrix}}$

Vi multiplicerar matriserna i enlighet med matrisekvationen:

$\mathbf {AY} ={\begin{pmatrix}Y_{1}&0&0&Y_{4}&0&-Y_{6}\\-Y_{1}&Y_{2}&Y_{3}&0&0&0\\0&0&-Y_ {3}&0&-Y_{5}&Y_{6}\end{pmatrix}};$

$\mathbf {AYA^{t)) ={\begin{pmatrix}Y_{1}+Y_{4}+Y_{6}&-Y_{1}&-Y_{6}\\-Y_{ 1}&Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}&-Y_{3}\\-Y_{6}&-Y_{3}&Y_{3}+Y_{5}+Y_{6}\ slut{pmatrix}};$

$\mathbf {AYA^{t}U_{0}}={\begin{pmatrix}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})\cdot \varphi _{1}-Y_{ 1}\cdot \varphi _{2}-Y_{6}\cdot \varphi _{3}\\-Y_{1}\cdot \varphi _{1}+(Y_{1}+Y_{2}+ Y_{3})\cdot \varphi _{2}-Y_{3}\cdot \varphi _{3}\\-Y_{6}\cdot \varphi _{1}-Y_{3}\cdot \varphi _{2}+(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})\cdot \varphi _{3}\end{pmatrix}};$

$\mathbf {J+YE} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\Y_{4}E_{4}\\J_{5}\\Y_{6}E_{6} \end{pmatrix));\quad \mathbf {-A(J+YE)} ={\begin{pmatrix}-Y_{4}E_{4}+Y_{6}E_{6}\\0\\ J_{5}-Y_{6}E_{6}\end{pmatrix}}$

När vi expanderar matrisnotationen får vi följande ekvationssystem:

${\begin{cases}(Y_{1}+Y_{4}+Y_{6})\cdot \varphi _{1}-Y_{1}\cdot \varphi _{2}-Y_{6 }\cdot \varphi _{3}=-E_{4}Y_{4}+E_{6}Y_{6}\\-Y_{1}\cdot \varphi _{1}+(Y_{1}+ Y_{2}+Y_{3})\cdot \varphi _{2}-Y_{3}\cdot \varphi _{3}=0\\-Y_{6}\cdot \varphi _{1}-Y_ {3}\cdot \varphi _{2}+(Y_{3}+Y_{5}+Y_{6})\cdot \varphi _{3}=J_{5}-E_{6}Y_{6} \end{cases}}$

Begränsningar

Nodalpotentialmetoden tillämpas på den ekvivalenta kretsen , så samma begränsningar gäller som för tillämpligheten av ekvivalenta kretsar. Om en verklig krets initialt ges, är det nödvändigt att skapa en ekvivalent krets för den och utföra ytterligare beräkningar med den. Således innehåller kretsen på vilken nodalpotentialmetoden tillämpas inte någon reell[ förtydliga ] element ( transistorer , dioder , lampor , galvaniska celler , passiva element med parasitparametrar, etc.).

Anteckningar

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Teoretiska grunder för elektroteknik: i 2 volymer Lärobok för universitet. Volym I. - 3:e uppl., Reviderad. och ytterligare - L .: Energoizdat. Leningrad. avdelningen, 1981. - 536 s., ill.

Se även

Metoder för beräkning av elektriska kretsar
direkt tillämpning av Kirchhoffs regler slingströmmar nodalpotentialer två noder koagulering Cauera motsvarande generator överlagringar komplexa amplituder avsnitt kretsdeterminanter klassisk operatör