Sophomore Dream (Math Identity)

Inom matematik är en sophomore's dream eller en sophomore 's dream ( eng. sophomore - en sophomore i USA ) ett par identiteter :

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n))$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n }=-\summa _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

Historik

Identiteter upptäckta 1697 av Johann Bernoulli . De numeriska värdena för dessa konstanter är ungefär 1,291285997 respektive 0,7834305107.

Namnet "andras dröm" kom senare. Det är en referens till "freshman's dream", vilket i sin tur betyder den skämtande missidentiteten (x + y) n = x n + y n . Emellertid, till skillnad från honom, är sophomores dröm ett par sanna identiteter [1] .

Bevis

Bevisen för dessa identiteter är helt analoga, så endast en av dem presenteras här.

Först, låt oss föreställa oss : $x^{x}$

$x^{x}=\exp(x\log x)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n)) {n!}}$ .

Sedan

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Genom egenskapen enhetlig konvergens av potensserier kan summeringen och integralen bytas ut. Vi får:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

För att få de integraler som presenteras ovan ersätter vi variabeln . Efter denna ersättning omvandlas de integrerade gränserna till , vilket ger oss: $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ $0<u<\infty$

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+ 1 )}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$ .

Genom Eulers integrerade identitet för gammafunktionen :

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$ ,

Således:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!)}}dx=(-1)^{n} ( n+1)^{-(n+1)}$ .

Genom att summera och ändra indexeringen (det börjar med n=1, inte med n=0), får vi den önskade identiteten.

Versioner av bevis

Det ursprungliga beviset, som ges av Bernoulli [2] och presenterat i sin moderna form [3] , skiljer sig från ovanstående när det gäller beräkning av integralen , men är i övrigt identisk förutom de tekniska detaljerna. Istället för att integrera genom substitution med Gamma-funktionen (som ännu inte var känd vid tidpunkten för beviset), använde Bernoulli integration av delar . $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$

Anteckningar

↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H. & Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery , sid. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
↑ Johann Bernoulli, 1697, samlad i Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, sid. 376–381
↑ Dunham, William (2005), 3: The Bernoullis (Johann och ), The Calculus Gallery, Mästerverk från Newton till Lebesgue , Princeton, NJ: Princeton University Press, sid. 46–51, ISBN 978-0-691-09565-3 $x^{x}$