Minimax eversion är en klass av sfäreversion med hjälp av mellanmodeller .
Detta är en variationsmetod och består av speciella homotopier (som är de kortaste vägarna i Willmore-energin ).
Den ursprungliga metoden för mellanmodeller var inte optimal - vanliga homotopier går igenom mellanmodeller, men vägen från den runda sfären till den mellanliggande modellen byggdes manuellt och var inte en gradientuppstigning/nedstigning.
Eversion genom mellanliggande mönster kallas handväska eversion [1] .
Den mellanliggande modellen är nedsänkningen av sfären i och den kallas så eftersom det är en mellanfas av sfärens eversion . Denna inversionsklass har tidssymmetri - den första halvan av den reguljära homotopin mappar den reguljära runda sfären till den mellanliggande modellen, och den andra halvan (som mappar den mellanliggande modellen till den vända sfären) är samma process i omvänd riktning.
Rob Kushner föreslog en optimal version av eversion med hjälp av Willmore-energin på utrymmet för alla nedsänkningar av sfären i . En rund sfär och en inverterad rund sfär är de enda globala minima för Willmore-energin, och en minimax-inversion är en väg som förbinder dessa tillstånd genom en sadelpunkt (liknande att resa mellan två dalar via en bergsstig) [2] .
Mellanliggande Kushner-modeller är sadelpunkter för Willmore-energin som uppstår (enligt Brians teorem) från vissa kompletta minimala ytor i tredimensionellt rymd. En minimax eversion består av en gradientuppstigning från en rund sfär till en mellanmodell, sedan en gradientnedgång till en vänd sfär (gradientnedstigning på Willmore-energin kallas Willmore-flödet ). Mer symmetriskt, börja med en mellanmodell, rör dig i en riktning och gå nedför Willmore-strömmen till en cirkulär sfär, förflytta dig sedan i motsatt riktning nedför Willmore-strömmen till en vänd sfär.
Det finns två familjer av mellanmodeller (denna observation beror på Francis och Morin):
Den första väldefinierade sfäreversionen föreslogs av Shapiro och Phillips i början av 1960-talet, med hjälp av Boy-ytan som en mellanmodell. Morin upptäckte senare ytan (nu uppkallad efter honom) och använde den för att konstruera andra inversioner av sfären. Kushner kom med minimax eversion i början av 1980-talet - historiska detaljer .