Willmore Energi

Willmore-energin är ett numeriskt mått på en given ytas avvikelse från en rund sfär . Matematiskt definieras Willmore-energin hos en slät stängd yta inbäddad i det tredimensionella euklidiska utrymmet som integralen av kvadraten av medelkurvaturen minus Gauss-kurvaturen . Termen är uppkallad efter den engelska geometern Thomas Willmore .

Definition

I symboliska termer är Willmore-energin på ytan S

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA

där är medelkurvaturen , är den Gaussiska krökningen och dA är ytarean av S. För en stängd yta, med hjälp av Gauss-Bonnet-formeln , kan den Gaussiska krökningsintegralen beräknas i termer av Euler-karaktäristiken för ytan $H$ $K$ $\chi (S)$

\int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),

som är topologiskt invariant och därför inte beror på en viss inbäddning i . Då kan Willmore-energin uttryckas som $\mathbb {R} ^{3}$

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)

En alternativ men likvärdig formel är

{\mathcal {W}}={1 \över 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA

var och är ytans huvudsakliga krökningar . $k_{1}$ $k_{2}$

Egenskaper

Willmore-energin är alltid större än eller lika med noll. En rund sfär har noll Willmore-energi.

Willmore-energin kan ses som en funktion på utrymmet för inbäddningar i ett givet utrymme i betydelsen variationskalkylen, och man kan ändra inbäddningen av en yta samtidigt som den lämnas topologiskt oförändrad.

Kritiska punkter

Huvudproblemet i variationskalkylen är sökandet efter kritiska punkter och minimum av det funktionella.

För ett givet topologiskt utrymme motsvarar detta att hitta funktionens kritiska punkter

\int _{S}H^{2}\,dA

eftersom Euler-karaktäristiken är konstant.

Man kan hitta ett (lokalt) minimum för Willmore-energin med hjälp av gradient descent , som i detta sammanhang kallas Willmore-flödet.

För en sfär inbäddad i 3-dimensionell rymd klassificerades kritiska punkter av Bryant [1] - de är alla konforma transformationer av minimala ytor , en rund sfär är ett minimum, och alla andra kritiska värden är heltal större än eller lika med 4 . De kallas Willmore-ytor. $\pi$

Willmores ström

Willmore-flödet är det geometriska flödet som motsvarar Willmore-energin. Det är - gradientflöde . $L^{2}$

e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A

där H betyder medelkrökningen av grenröret . ${\mathcal {M}}$

Flödeslinjerna uppfyller differentialekvationen:

\partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,

där den ligger på ytan. $x$

Detta flöde leder till ett evolutionärt problem i differentialgeometri - ytan utvecklas med tiden, efter den kraftigaste minskningen av energi. Liksom ytdiffusion är flödet ett fjärde ordningens flöde, eftersom energivariationen innehåller en fjärde derivata. ${\mathcal {M}}$

Applikationer

Cellmembran tenderar till positionen med minimal Willmore-energi [2] .
Willmore-energin används för att konstruera en klass av optimal sfäreversion , minimax eversion .

Se även

Willmores hypotes

Anteckningar

↑ Bryant, 1984 , sid. 23–53.
↑ Müller, Röger, 2014 , sid. 109–139.

Litteratur

Stefan Müller, Matthias Röger. Instängda strukturer med minst böjningsenergi // Journal of Differential Geometry. - 2014. - Maj ( vol. 97 , nummer 1 ). doi : 10.4310 /jdg/1404912105 .
Willmore TJ A survey on Willmore immersions // Geometry and Topology of Submanifolds, IV (Leuven, 1991). River Edge, NJ: World Scientific, 1992. s. 11–16.
Robert L. Bryant. En dualitetssats för Willmore-ytor // Journal of Differential Geometry . - 1984. - T. 20 , nr. 1 . — S. 23–53 .